두 개의 부분 $A$와 $B$로 이루어진 계를 생각하자. $A$는 내부 에너지, 부피, 입자 수로 각기 $U_A$, $V_A$, $N_A$를 가지며, 마찬가지로 $B$는 $U_B$, $V_B$, $N_B$를 가진다. 전체 에너지 $U = U_A + U_B$는 보존되는데, 두 부분 사이에 막이 있어서 에너지만 통과할 수 있다고 하자.

독립 변수는 $U_A$ 뿐인데, 이에 따라 전체 계의 엔트로피 $S = S_A + S_B$가 변한다. $S$가 가장 커지는 때가 막이 없을 때 실현될 평형이라고 하면 \begin{eqnarray*} 0 = \frac{\partial}{\partial U_A} S (U_A, V_A, N_A; U-U_A, V_B, N_B) &=& \frac{\partial}{\partial U_A} \left[ S_A (U_A, V_A, N_A) + S_B (U-U_A, V_B, N_B) \right]\\ &=& \frac{\partial}{\partial U_A} S_A (U_A, V_A, N_A) + \frac{\partial}{\partial U_A} S_B (U-U_A, V_B, N_B)\\ &=& \frac{\partial}{\partial U_A} S_A (U_A, V_A, N_A) - \frac{\partial}{\partial U_B} S_B (U_B, V_B, N_B) \end{eqnarray*} 이 되므로 즉 $$\frac{\partial}{\partial U_A} S_A (U_A, V_A, N_A) = \frac{\partial}{\partial U_B} S_B (U_B, V_B, N_B)$$ 이 만족된다.

열역학 퍼텐셜에서 보인 것처럼, 이는 둘의 온도가 같다는 의미이다.

• Robert H. Swendsen, An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012), p. 72.