셔우드가 제시한 다음 역설을 생각해보자. 사포처럼 거친 표면 위에 외력 $\vec{f}_e$를 가해 일정한 속도로 미끄러지게 하고 있다. 운동 마찰력 $\vec{f}_k$까지 고려하면, 속도가 일정하므로 물체에 가해진 알짜 힘은 $$\vec{f}_e + \vec{f}_k = 0$$ 이다. 외력과 운동 마찰력의 크기가 일정하다고 가정하고 위 식을 변위에 대해 적분하면 $$W - f_k d = 0$$ 이고, 여기에서 $W$는 운동 마찰력을 제외한 모든 힘이 한 일, 그러니까 지금 상황에서는 $W = f_{e}d$이다. 통상적으로 그러하듯이 $-f_k d$를 '운동 마찰력이 한 일'이라고 해석하면 위 식의 좌변 전체는 물체가 받은 알짜 일이고, 일-운동 에너지 정리에 의하면 운동 에너지 변화량도 실제 0이므로 이야기가 맞는 것처럼 보인다. 그런데, 사실 변위 $\vec{d}$만큼 운동이 이루어지고 나면 표면과 접촉한 물체 면의 온도는 살짝 올라간다. 만일 물체가 받은 알짜 일이 0이라면 이 내부 에너지 증가분은 어디에서 왔는가?

뉴튼의 운동 법칙을 질량 중심이 이동한 변위에 대해 적분하면 다음을 얻는다. \begin{eqnarray*} \sum_i \vec{F}_i &=& M \vec{a}_\text{CM}\\ \int \left(\sum_i \vec{F}_i\right)\cdot d\vec{r}_\text{CM} &=& M \int \frac{d\vec{v}_\text{CM}}{dt} \cdot d\vec{r}_\text{CM}\\ &=& \Delta \left( \frac{1}{2} M v_\text{CM}^2 \right). \end{eqnarray*} 위에 우리가 적었던 식은, 사실 이 질량중심에 대한 방정식에 해당한다.

점입자의 경우라면 이는 일-에너지 정리로 바로 연결된다. 그러나 마찰은 물체 표면의 미시적인 변형을 수반하고, 위 방정식은 그 부분을 다루지 못한다.

마찰은 구체적인 물성에 상당 부분 좌우되지만, 대칭성이 높은 상황에서는 모형에 무관한 일반적인 계산이 가능하다. 셔우드와 버나드가 제안한 대로 아래 그림처럼 동일한 두 개의 판이 일정한 속력으로 서로에 대해 미끄러지고 있다고 하자.

대칭성을 위해 중력을 무시할 수 있는 우주 공간에서 실험하고 있다고 가정한다. 대신 (열을 전도하지 않는 재질의) 롤러로 크기 $N$의 힘을 가해 각각의 판을 누르고 있다. 판의 변위는 판의 크기에 비해 매우 작아서 접촉 면적 등 마찰 상황이 시간에 대해 거의 일정하다고 본다 (양쪽 판이 큰 고리 모양의 일부라고 생각해도 되겠다).

아래쪽 판과 함께 움직이는 관성계에서 볼 때, 위의 판이 거리 $d$만큼을 오른쪽으로 움직였다고 하자. 여기에 해당하는 일 $fd$가 계의 내부 에너지로 전환될 것이다. 대칭성에 의해 위쪽 판에서는 $\Delta E_\text{thermal, upper} = fd/2$만큼의 내부 에너지가 증가할 것이다.

이제 위의 판만을 계로 간주하자. 이 계에 작용하는 외력은 오른쪽으로 잡아당기는 힘 $(f,0)$과 마찰력 $(-f,0)$, 위에서 아래로 롤러가 누르는 힘 $(0,-N)$과 이를 상쇄하는 수직항력 $(0,N)$이다. 첫 번째 힘이 하는 일이 $fd$이므로 마찰력이 일하는 만큼의 변위를 $d_\text{eff}$라고 한다면 $$fd-fd_\text{eff} = \Delta E_\text{thermal, upper} = fd/2$$ 로서 $d_\text{eff} = d/2$라는 결론을 얻는다.

• B. A. Sherwood and W. H. Bernard, Work and heat transfer in the presence of sliding friction, American Journal of Physics 52, 1001 (1984).
• R. A. Serway and J. W. Jewett, Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, 10th Edition (2019).
• https://www.wired.com/story/even-physics-textbooks-tend-to-get-friction-slightly-wrong/
• 소다 노리무네, 생활 속 마찰 이야기, 개정 1쇄, (전파과학사, 2022)