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포커-플랑크 방정식
간단한 예로서 다음과 같은 확률미분방정식 $$dx = a[x(t)] dt + \sqrt{D} dW$$ 가 주어져 있다고 하자. $D$는 상수이고 $dW$는 위너 확률과정이다. 시간을 이산화할 때에 이토 해석을 따르면, $a$를 $t+\Delta t$가 아니라 $t$의 시점에서 계산하므로 다음처럼 적게 된다: $$x(t+\Delta t)-x(t) = a[x(t)] \Delta t + \sqrt{D} \Delta W.$$
시간 $t+\Delta t$에 위치 $x$에서 발견될 확률은 다음처럼 계산된다: $$\rho(x, t+\Delta t) = \int dx' \int d\Delta W P(\Delta W) \delta \left[ x-x'-a(x')\Delta t-\sqrt{D} \Delta W \right] \rho(x',t).$$ 즉 시간 $t$에 위치 $x'$에서 출발하되, $\Delta t$의 시간 동안 위의 이산 방정식을 통해 $x$에 도달할 수 있게끔 잡음이 발생할 확률들을 합하는 것이다.
다음의 두 식을 대입한다: $$P(\Delta W) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \exp \left[ -\frac{(\Delta W)^2}{2\Delta t}\right]$$ $$\delta(x) = \int \frac{dk}{2\pi} \exp[-ikx]$$. 그러면 그 결과는 아래와 같고 \begin{eqnarray*} \rho(x, t+\Delta t) &=& \int dx' \int \frac{dk}{2\pi} \int \frac{d\Delta W}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \exp\left\{ -ik \left[ x-x'-a(x') \Delta t-\Delta W \right] - \frac{(\Delta W)^2}{2\Delta t} \right\} \rho(x',t)\\ &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi \Delta t}} \int dx' \exp\left\{- \frac{[x-x'-a(x')\Delta t]^2}{2\Delta t} \right\} \rho(x',t) \end{eqnarray*} $y\equiv x-x'-a(x)\Delta t$라고 정의하자. 그러면 $x'-x = -y-a(x) \Delta t$이고, 지수 안의 분자에 들어가 있는 표현식은 다음처럼 적힌다: \begin{eqnarray*} x-x'-a(x') \Delta t &\approx& x-x' - \left[ a(x) + (x'-x) a'(x) \right] \Delta t\\ &=& y-(x'-x)a'(x) \Delta t \end{eqnarray*} 이때 $a'(x) \equiv da/dx$이다.