$\mathbf{x}(t) = \left[ x_1(t), \ldots, x_n(t) \right]$가 아래와 같은 $n$차원 랑주뱅 방정식의 해라고 하자: $$\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f} \left[ \mathbf{x}(t) \right] + \mathbf{\xi}(t).$$ 이때 잡음은 가우스 분포를 따르는 백색 잡음으로 $\langle \xi_i(t) \rangle = 0$과 $\langle \xi_i(t) \xi_j(t) \rangle = 2D_{ij} \delta(t-t')$을 만족한다.

초기조건 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$에서 출발했다는 조건 하에서, 시간 $\tau$가 지난 후 $\mathbf{x}_\tau$에 도달하는 전이 확률을 구해보자: $$P(\mathbf{x}_\tau, \tau | \mathbf{x}_0, 0) = \int D\mathbf{\xi} P[\mathbf{\xi}] \delta \left[ \mathbf{x}(\tau) - \mathbf{x}_\tau \right].$$ 이는 시간 $0$에서 $\tau$ 사이 동안 발생하는 잡음들의 표본을 생각하고 (그 분포가 $P[\mathbf{\xi}]$이다), 각 잡음 표본에 대해 랑주뱅 방정식을 따라 $x(t)$를 변화시켰을 때, 시간 $\tau$에서 $\mathbf{x}_\tau$에 도달한 경로의 비율을 구하는 것으로 개념화할 수 있다.

경로적분

• The 13th KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics
• The 22nd KIAS-APCTP Winter School on Statistical Physics
• Piero Olla's lecture note