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--- 배규호:간섭_항이_있는_가우스_함수의_기대값 [2017/09/29 16:23] – bekuho
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 ======간섭이 있는 가우스 함수======
-긴츠버그-란다우 해밀토니안을 운동량 공간에서 전개하자. 운동량 벡터 q에 대해 $\int d^{d}x$규칙을 만족하면서
+긴츠버그-란다우 해밀토니안을 운동량 공간에서 전개하자. 위치 $x$ 에서의 스핀 벡터를 운동량 벡터 q의 공간으로 푸리에 변환을 한 후, $\int d^{d}x$ 를 취해주면 $-i\dot x(q - q^{\prime}) = \delta_{q,q^{\prime}}$  이기 때문에 $ q = q^{\prime}$ 을 만족하지 않는 $q^{\prime}$에 대한 적분은 모두 0이 된다. 이 과정을 모두 수행한 후의 해밀토니안은 아래와 같다.
-해밀토니안을 유도하면 아래와 같다.
 $$ \beta H_{0} = \frac{1}{L^{d}}\sum_{q}(\frac{t+Kq^2}{2})|\sigma(q)|^{2} $$
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 $<OU^{n}>_{0}^{c}$는 간섭 U가 있을때 바뀌게 되는 n차 큐뮬런트 계산을 줄여서 쓴 것이다.
+======상관함수======
+위와 같은 간섭 $U$가 있는 상황에서 두 질서변수 사이의 상관함수를 계산해보자. 1차항까지만 써보면 상관함수는 다음과 같은 형태를 가진다.
+\begin{align*}
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q')\rangle &= \langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q')\rangle_0 \\
+	&\quad - u\int\frac{d^d\mathbf k_1d^d\mathbf k_2d^d\mathbf k_3}{(2\pi)^{3d}}\left(\langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q') m_i(\mathbf k_1)m_i(\mathbf k_2)m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\right.\\
+	&\qquad\qquad\qquad -\left.\langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q')\rangle_0\langle m_i(\mathbf k_1)m_i(\mathbf k_2)m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\right)+O(u^2)
+\end{align*}
+$\langle\cdot\rangle_0$은 간섭이 없는 경우, 즉 가우시안 모형에서의 기댓값이다. 그리고 위 식에서 나타나는 여러점 상관함수는 윅의 정리(Wick's theorem)를 이용해 다음과 같이 두 점 상관함수로 변환해 쓸 수 있다.
+\begin{align*}
+	\langle m_im_jm_km_l\rangle &= \langle m_im_j\rangle\langle m_km_l\rangle+\langle m_im_k\rangle\langle m_jm_l\rangle+\langle m_im_l\rangle\langle m_jm_k\rangle
+\end{align*}
+이를 적용해보면 각 항마다 가능한 경우의 수는
+\begin{align*}
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q') m_i(\mathbf k_1)m_i(\mathbf k_2)m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0&&:\text{15가지}\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q')\rangle_0\langle m_i(\mathbf k_1)m_i(\mathbf k_2)m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0&&:\text{3가지}
+\end{align*}
+이고, 아래 세가지는 $-$부호에 의해 상쇄될 것이므로, 결국 실제로 두 점 상관함수에 기여하는 항은 다음 $12$가지가 된다.
+\begin{align*}
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_i(\mathbf k_2)\rangle_0
+	\langle m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_2)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_1)m_i(\mathbf k_2)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_1)m_i(\mathbf k_2)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_j(\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_2)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_1)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_2)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_1)m_j(\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_j(\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	\langle m_\alpha(\mathbf q)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+\end{align*}
+다행히도, 이 $12$가지 항이 두가지 클래스로 나뉘어진다.
+첫번째는 $m_\alpha$와 $m_\beta$가 같은 인덱스를 가진 항과 곱해지는 경우이다. 예를 들면,
+\begin{align*}
+	&\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_i(\mathbf k_2)\rangle_0
+	\langle m_j(\mathbf k_3)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	=&\frac{\delta_{\alpha i}(2\pi)^d\delta(\mathbf q-\mathbf k_1)}{t+Kq^2}\cdot\frac{\delta_{\beta i}(2\pi)^d\delta(\mathbf q'-\mathbf k_2)}{t+Kq'^2}\cdot\frac{\delta_{jj}(2\pi)^d\delta(-\mathbf k_1-\mathbf k_2)}{t+Kk_3^2}
+\end{align*}
+와 같은 경우가 네가지 있고, 적분을 통해 이런 클래스가 상관함수에 얼마나 기여하는지 다음과 같이 계산할 수 있다.
+\begin{align*}
+	&-4u\sum_{ij}\delta_{\alpha i}\delta_{\beta i}\delta_{jj}\int\frac{d^d\mathbf k_1d^d\mathbf k_2d^d\mathbf k_3}{(2\pi)^{3d}}(2\pi)^{3d}\frac{\delta(\mathbf q - \mathbf k_1)\delta(\mathbf q' - \mathbf k_2)\delta(-\mathbf k_1-\mathbf k_2)}{(t+Kq^2)(t+Kq'^2)(t+Kk_2^2)}\\
+	=&-4un\delta_{\alpha\beta}\int d^d\mathbf k_1d^d\mathbf k_3\frac{\delta(\mathbf q - \mathbf k_1)\delta(\mathbf q' + \mathbf k_1)}{(t+Kq^2)(t+Kq'^2)(t+Kk_3^2)}\\
+	=&-\frac{4un(2\pi)^d\delta_{\alpha\beta}\delta(\mathbf q+\mathbf q')}{(t+Kq^2)^2}\int \frac{d^d\mathbf k}{(2\pi)^d}\frac{1}{t+Kk^2}
+\end{align*}
+두번째로는 $m_\alpha$와 $m_\beta$가 서로 다른 인덱스를 가진 항과 곱해지는 경우이다. 예를 들면,
+\begin{align*}
+	&\langle m_\alpha(\mathbf q)m_i(\mathbf k_1)\rangle_0
+	\langle m_\beta(\mathbf q')m_j(\mathbf k_3)\rangle_0
+	\langle m_i(\mathbf k_2)m_j(-\mathbf k_1-\mathbf k_2-\mathbf k_3)\rangle_0\\
+	=&\frac{\delta_{\alpha i}(2\pi)^d\delta(\mathbf q-\mathbf k_1)}{t + Kq^2}\cdot\frac{\delta_{\beta j}(2\pi)^2\delta(\mathbf q'-\mathbf k_3)}{t+Kq'^2}\cdot\frac{\delta_{ij}(2\pi)^2\delta(-\mathbf k_1-\mathbf k_3)}{t+Kk_2^2}
+\end{align*}
+와 같은 경우가 있고, 마찬가지로 계산하면
+\begin{align*}
+	&-8u\sum_{ij}\delta_{\alpha i}\delta_{\beta j}\delta_{ij}\int d^d\mathbf k_1d^d\mathbf k_2d^d\mathbf k_3\frac{\delta(\mathbf q-\mathbf k_1)\delta(\mathbf q'-\mathbf k_3)\delta(-\mathbf k_1-\mathbf k_3)}{(t+Kq^2)(t+Kq'^2)(t+Kk_2^2)}\\
+	=&-8u\delta_{\alpha\beta}\int d^d\mathbf k_1d^d\mathbf k_2\frac{\delta(\mathbf q-\mathbf k_1)\delta(\mathbf q'+\mathbf k_1)}{(t+Kq^2)(t+Kq'^2)(t+Kk_2^2)}\\
+	=&-\frac{8u(2\pi)^d\delta_{\alpha\beta}\delta(\mathbf q+\mathbf q')}{(t+Kq^2)^2}\int\frac{d^d\mathbf k}{(2\pi)^2}\frac{1}{t+Kk^2}
+\end{align*}
+이들을 모두 더하면 두 점 사이의 상관함수는
+\begin{align*}
+	&\langle m_\alpha(\mathbf q)m_\beta(\mathbf q')\rangle\\
+	=&\frac{\delta_{\alpha\beta}(2\pi)^d\delta(\mathbf q+\mathbf q')}{t+Kq^2}\left[1-\frac{4u(n+2)}{t+Kq^2}\int\frac{d^d\mathbf k}{(2\pi)^2}\frac{1}{t+Kk^2}+O(u^2)\right]
+\end{align*}
+가 된다.