물리:간섭_항이_있는_가우스_함수의_기대값

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간섭이 있는 가우스 함수

긴츠버그-란다우 해밀토니안을 운동량 공간에서 전개하자. 운동량 벡터 q에 대해 $\int d^{d}x$규칙을 만족하면서

해밀토니안을 유도하면 아래와 같다.

$$ \beta H_{0} = \frac{1}{L^{d}}\sum_{q}(\frac{t+Kq^2}{2})|\sigma(q)|^{2} $$

따라서 긴츠버그-란다우 해밀토니안에 대한 상태 함수는 가우스 형태가 된다.

$$ Z_{0} = \int \prod_{q} d \sigma(q) e^{-C(q)|\sigma(q)|^{2}} $$

이제 원래의 해밀토니안에 작은 u에 대해 $u \int d^{d}x sigma(x)^{4}$ 라는 간섭항이 들어왔다고 하자.

$$ U = u\int d^{d}x m(x)^4 = u\int d^{d}x L^{-2d}\sum_{q1,q2,q3,q4}m(q_{1})m(q_{2})m(q_{3})m(q_{4})e^{-ix \cdot (q_{1} + q_{2} + q_{3} + q_{4})} $$

$$ u\int d^{d}x \int \frac{d^{d}q_{1} d^{d}q_{2} d^{d}q_{3} d^{d}q_{4}}{(2\pi)^{4d}}m(q_{1})m(q_{2})m(q_{3})m(q_{4})e^{-ix \cdot (q_{1} + q_{2} + q_{3} + q_{4})} $$

조건 $ q_1 + q_2 + q_3 +q_4 =0$을 공간적분을 위해 도입하면 $q_4 = -q_1 -q_2-q_3$이라고 쓸 수 있고 실제 적분은 $ q_1,q_2,q_3$에 대해 수행된다.

$$ u\int \frac{d^{d}q_{1} d^{d}q_{2} d^{d}q_{3}}{(2\pi)^{3d}}m(q_{1})m(q_{2})m(q_{3})m(-q_{1}-q_{2}-q_{3}) $$

여기에서 잠시 간섭항이 들어온 해밀토니안에 대한 상태함수를 살펴보자 u가 충분히 작다면 U로 $ e^{-\beta H_0 - U} $를 전개 할 수 있다.

$$ \int \prod_q d\sigma(q)e^{-\beta H_0} [ 1 - U +U^{2}/2 + ...] $$

$\prod_q \sigma(q)$를 $D\sigma(q)$라고 줄여서 쓰도록 하자. 위의 식은 자동적으로 U의 n차 모멘트를 계산해준다.

이제 어떤 관측의 기대값을 $ <O>$ 라고 하자. 그리고 원래의 가우스 함수에 대한 적분은 $<O>_0$라고 쓰자.

$$ <O> = \frac{\int D\sigma(q) O e^{-\beta H_0 - U}}{\int D\sigma(q)e^{-\beta H_0 - U}} = \frac{\int D\sigma(q)Oe^{-\beta H_0} [ 1 - U +U^{2}/2 + ...]}{\int D\sigma(q)e^{-\beta H_0} [ 1 - U +U^{2}/2 + ...]} $$

그리고 $ \int DX(x) M e^{-F[X]} = Z<M> $을 이용하면

$$ \frac{\int D\sigma(q)Oe^{-\beta H_0} [ 1 - U +U^{2}/2 + ...]}{\int D\sigma(q)e^{-\beta H_0} [ 1 - U +U^{2}/2 + ...]}= \frac{Z_{0}[<O>_{0} - <OU>_{0} + \frac{1}{2}<OU^{2}>_0 - \cdots ]}{Z_{0}[1 - <U>_0 + \frac{1}{2}<U^{2}> -\cdots]} $$

분모 부분을 전개하여 쓰자 $( 1-a+b-c+...)^{-1}$의 전개는 아래와 같다.

$$ ( 1-a+b-c+...)^{-1} = 1 + a + a^2 + a^3 +... -b +b^2 +.... c +c^2 +... -d +.... $$

따라서 분모 부분을 위 규칙에 따라 정리하고 $U$ 의 차수에 대해 정리하면

$$ <O> = [<O>_0 - <OU>_0 + \frac{1}{2}<OU^{2}>_0 - \cdots][1+<O>_{0}+ <U^2>_0 -\frac{1}{2} <U^2>_0 - \cdots] $$

$$ = <O>_{0} - (<OU>_{0} - <O>_{0} <U>_{0}) + \frac{1}{2} (<OU^{2}>_{0} - 2<OU>_{0} <U>_{0} + 2<O>_{0} {<U>_{0}}^{2} - <O>_{0} <U^{2}>_{0}) + \cdots \equiv \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n!}<OU^{n}>^c_{0} $$

$<OU^{n}>_{0}^{c}$는 간섭 U가 있을때 바뀌게 되는 n차 큐뮬런트 계산을 줄여서 쓴 것이다.

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