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--- 물리:결맞는_상태_coherent_state [2023/01/21 13:11] – minwoo
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 ====== 양자 조화 진동자 ======
 ==== 조화 진동자 (고전적 모형과의 차이) ====
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 $ \\ $
-결맞는 상태 $| alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면
+결맞는 상태 $| \alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면
 $$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(\alpha) |n\rangle\\ $$
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 계수 $c_n(\alpha)$은 다음의 과정에 따라서 구할 수 있다.
-$$ \begin{align}
+\begin{align}
 &a|\alpha\rangle = a\sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha)\  a|n\rangle \\
 &\ \quad = \sum_{n=1}^\infty c_n(\alpha)\  a|n\rangle= \sum_{n=1}^\infty c_n(\alpha)\  \sqrt{n}|n-1\rangle =   \sum_{n=0}^\infty c_{n+1}(\alpha)\  \sqrt{n+1}|n\rangle \quad  (\because a|0\rangle=0). \\
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 이제 $c_0(\alpha)$를 규격화를 통해서 구하면 다음과 같다.
-$$ \begin{align}
+\begin{align}
 &1=\langle\alpha|\alpha\rangle=\langle n|n \rangle \sum_{n=0}^\infty |c_n(\alpha)|^2=\sum_{n=0}^\infty |c_n(\alpha)|^2 =\sum_{n=0}^\infty  \frac{|\alpha|^{2n}}{n!} |c_0(\alpha)|^2 \\
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 & \therefore |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle
 \end{align}
+===== 푸아송 분포 (Poisson distribution) =====
+아래의 '결맞는 상태'에 대해서,
+$$ |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle $$
+$|n \rangle$의 상태로 발견될 확률은 다음과 같다.
+$$P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$$
+그런데, $|n \rangle$의 $n$은 에너지의 높고 낮음을 표현하므로
+이는 $n$개의 광자를 흡수한 상태로 이해할 수 있다.
+즉, $P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$는 $n$개의 광자(photon)들을 발견할 확률과 같다.
+$$ \\ $$
+이를 통해, 결맞는 상태에 대해서 '평균 광자 수'가 $\langle n \rangle=\langle a^{\dagger}a \rangle=|\alpha|^2$와 같은 푸아송 분포 (Poisson distribution)를 따른다는 것을 알 수 있으며
+그의 분산도 $|\alpha|^2$이다.
 ===== '불확정성 원리' (uncertainty principle) =====
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 조화 진동자 모형의 운동을 위상 평면에 아래와 같이 그릴 수 있다.
+{{:물리:classical_motion.png?300|}}
+(이는 1차원 용수철 운동을 떠올린다면 더 쉽게 이해할 수 있다.)
+이러한 $x$와 $p$가 이루는 자취의 방정식을 수식으로 표현하자면
+$\frac{1}{2}(x^2+p^2)=n$ 으로 표현할 수 있겠다.
 ==== 기존의 '수 고유 상태' (number eigenstate) ====
+양자 조화 진동자 (quantum harmonic oscillator)에 대한 고유 상태 $|n \rangle$에 대해서는
+아래와 같은 계산 과정을 따라갈 수 있다.
-$$ \begin{align}
+\begin{align}
 &\ a^{\dagger}=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left( x-\frac{i}{m\omega}\hat{p} \right), \ a=\sqrt{\frac{m\omega}{2\hbar}}\left( x+\frac{i}{m\omega}\hat{p} \right) \\ \\
@@ Line 178: / Line 209: @@
 & \sigma_x \sigma_p =\hbar^2 \left(n+\frac{1}{2}\right)^2 \ge \left( \frac{\hbar}{2} \right)^2 \quad \left(\because \ \sigma_A = \langle A^2 \rangle - \langle A \rangle ^2 \right)
-\end{align}$$
+\end{align}
+즉, $n$이 클수록 불확정성(uncertainty)가 더 크다.
+$$ \\ $$
+위에서 $ \langle n|x^2|n \rangle = \frac{\hbar}{m\omega}\left(n+\frac{1}{2} \right), \ \langle n|\hat{p}^2|n \rangle = \hbar m\omega \left(n+\frac{1}{2}\right) $
+의 결과를 고려한다면, 다음이 성립함을 알 수 있다.
+$$ n \le \frac{1}{2}(x^2+p^2) \le n+1 $$
+또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립한다.
+$$ \\ $$
+이를 위상 평면에서 표현하면 다음과 같다.
+{{:물리:number_eigenstate1.png?300|}}
+위의 폭은 $ \sigma_x \sigma_p =\hbar^2 \left(n+\frac{1}{2}\right)^2 \ge \left( \frac{\hbar}{2} \right)^2 $의 불확정성에 의한 것이다.
+==== '결맞는 상태' (coherent state) ====
+앞서 언급한 결맞는 상태 $a|\alpha\rangle=\alpha|\alpha\rangle \ \  (\alpha \in \mathbb{C}) $ 의 경우는 어떻게 될까? 아래와 같이 계산해보자.
+=== [1] $\langle x \rangle$, $\langle \hat{p} \rangle$ ===
+$$x=\sqrt{\frac{\hbar}{2m\omega}}(a+a^{\dagger}), \
+\hat{p}=-i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}(a-a^{\dagger}) ,\\
+\langle\alpha| x |\alpha\rangle=\sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}}\left(\ (\langle\alpha| a^{\dagger})+(a|\alpha\rangle)\ \right) \\
+= \sqrt{\frac{\hbar}{2m \omega}}(\alpha^* +\alpha) \\
+\\
+\langle\alpha| \hat{p} |\alpha\rangle=-i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}
+\left(\ (-\langle\alpha| a^{\dagger})+(a|\alpha\rangle)\ \right) \\
+=-i\sqrt{\frac{\hbar m\omega}{2}}(-\alpha^*+\alpha)$$
+$\langle n|x|n \rangle$와 $\langle n|\hat{p}|n \rangle$가 $0$이 아니라는 점을 기억해두는 편이 좋다.
+$$ \\ $$
+=== [2] $\langle x^2 \rangle$, $\langle \hat{p}^2 \rangle$ ===
+\begin{align}
+&\ \langle \alpha|x^2|\alpha \rangle =  \langle \alpha|\frac{\hbar}{2m\omega}(a+a^{\dagger})(a+a^{\dagger})|\alpha \rangle \\
+& \ \ \quad = \frac{\hbar}{2m \omega}\langle \alpha |(aa +aa^{\dagger}+a^{\dagger}a+a^{\dagger}a^{\dagger})|\alpha \rangle\\
+& \ \ \quad = \frac{\hbar}{2m \omega}\langle \alpha |(aa +2a^{\dagger}a+1+a^{\dagger}a^{\dagger})|\alpha \rangle\\
+&\qquad (\because \ [a,a^{\dagger}]=aa^{\dagger}-a^{\dagger}a=1)
+\\
+& \ \ \quad = \frac{\hbar}{2m \omega} \left( \alpha^2 +2\alpha^*\alpha +1+{\alpha^*}^2 \right) \\
+\\
+& \ \langle \alpha|\hat{p}^2|\alpha \rangle = \langle \alpha|-\frac{\hbar m\omega}{2}(a-a^{\dagger})(a-a^{\dagger})|\alpha\rangle \\
+& \ \ \quad =-\frac{\hbar m \omega}{2}  \langle\alpha |(aa-aa^{\dagger}-a^{\dagger}a+a^{\dagger}a^{\dagger}) | \alpha\rangle \\
+& \ \ \quad =-\frac{\hbar m \omega}{2}  \langle\alpha |(aa-2a^{\dagger}a-1+a^{\dagger}a^{\dagger}) | \alpha\rangle \\
+& \ \ \quad =-\frac{\hbar m \omega}{2} \left(\alpha^2-2\alpha^*\alpha-1+{\alpha^*}^2 \right)
+\\
+& \sigma_x \sigma_p =(\frac{\hbar}{2m\omega})(\frac{\hbar m\omega}{2})=\left(\frac{\hbar}{2}\right)^2
+\end{align}
+결맞는 상태(coherent state)의 불확정성(uncertainty)은 $n$의 크기와 무관하며,
+$(\frac{\hbar}{2})^2$의 값에 따라 '최소' 불확정성의 상태(minimum uncertainty state) 이다.
+$$ \\ $$
+또한, 계산한 $\langle x \rangle = \langle\alpha| x |\alpha\rangle$와 $\langle\hat{p}\rangle=\langle\alpha| \hat{p} |\alpha\rangle$의 결과를 고려하면
+($m=\omega=\hbar=1$로 두었을 때) 다음이 성립함을 알 수 있다.
+$$ \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (\langle x \rangle + i\langle \hat{p} \rangle) $$
+이를 위상 평면에 아래와 같이 나타낼 수 있다.
+{{:물리:coherent_state.png?300|}}
+즉, 마치 고전적인 극한에서 불확정성을 표현하는 면적이 점으로 표현되는 것과 같이
+위의 '자취의 반지름'이 ($\alpha$) 매우 클 경우에는 그 불확정성의 면적 크기 $(\frac{\hbar}{2})^2$를 상대적으로 무시 가능하므로
+결맞는 상태가 $(x,p)$ 평면 상에서 고전적인 조화 진동자를 모방한다고 표현할 수 있다.
+$$ \\ $$
+===== 시간 변화 (time evolution) =====
+다음의 결맞는 상태의 식에
+$$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle\\
+= \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-\alpha^* \alpha/2}|n\rangle $$
+'시간 변화 연산자(time evolution operator)'인 $e^{-iHt/\hbar}$ 를 걸어보자.
+\begin{align}
+e^{-iHt/\hbar}|\alpha \rangle = &\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-iHt/\hbar} |n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2} \\
+= &\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-i\hbar \omega (n+\frac{1}{2})t/\hbar} |n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2} \\
+= &\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-in\omega t} |n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2}e^{-i\omega t/2 } \\
+= &\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2}e^{-i\omega t/2 } \\
+= &|\alpha e^{-i\omega t }\rangle e^{-i\omega t/2 }
+\end{align}
+$$ \\ $$
+즉, $e^{-iHt/\hbar} | \alpha \rangle  = |\alpha e^{-i\omega t }\rangle e^{-i\omega t/2 }$의 관계식이 성립한다.
+$$ \\ $$
+이러한 결과와 오일러 공식(Euler formula), 그리고 $\alpha$와 $\langle x \rangle, \langle\hat{p}\rangle$의 관계식을 떠올려 볼 때
+$$
+e^{-i\omega t}=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)
+\\
+\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (\langle x \rangle + i\langle \hat{p} \rangle), \ i=e^{\pi/2}
+$$
+(위에서 살펴본 그림과 같이) 고전적인 극한($\alpha \gg 1$)에서는 결맞는 상태를 위상 평면 상에서 이해할 때
+불확정성을 무시 가능하며 운동하는 입자로 취급할 수 있다는 것을 알 수 있다.
+$$ \\ $$
+===== 참고 문헌 =====
+Hitoshi Murayama, Jan27 151 Coherent state, QFT on 1D lattice, 2021. (lecture of Prof. Hitoshi Murayama)