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--- 물리:결맞는_상태_coherent_state [2023/01/21 13:42] – minwoo
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 ====== 양자 조화 진동자 ======
 ==== 조화 진동자 (고전적 모형과의 차이) ====
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 $ \\ $
-결맞는 상태 $| alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면
+결맞는 상태 $| \alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면
 $$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(\alpha) |n\rangle\\ $$
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 & \therefore |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle
 \end{align}
+===== 푸아송 분포 (Poisson distribution) =====
+아래의 '결맞는 상태'에 대해서,
+$$ |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle $$
+$|n \rangle$의 상태로 발견될 확률은 다음과 같다.
+$$P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$$
+그런데, $|n \rangle$의 $n$은 에너지의 높고 낮음을 표현하므로
+이는 $n$개의 광자를 흡수한 상태로 이해할 수 있다.
+즉, $P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$는 $n$개의 광자(photon)들을 발견할 확률과 같다.
+$$ \\ $$
+이를 통해, 결맞는 상태에 대해서 '평균 광자 수'가 $\langle n \rangle=\langle a^{\dagger}a \rangle=|\alpha|^2$와 같은 푸아송 분포 (Poisson distribution)를 따른다는 것을 알 수 있으며
+그의 분산도 $|\alpha|^2$이다.
 ===== '불확정성 원리' (uncertainty principle) =====
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 \end{align}
-즉, $n$이 클수록 불화정성(uncertainty)가 더 크다.
+즉, $n$이 클수록 불확정성(uncertainty)가 더 크다.
 $$ \\ $$
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 $$ n \le \frac{1}{2}(x^2+p^2) \le n+1 $$
-또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립하는데,
+또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립한다.
-이는 (슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻을 수 있는) 아래의 확률 분포로도 ($n=30$) 이해할 수 있겠다.
-{{:물리:prob_distribution_n_30_.png?350|}}
-양 쪽의 x값에서 입자가 발견될 확률이 가장 높고, 그의 평균 $\langle x \rangle$은 0인 것이다.
 $$ \\ $$
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 즉, 마치 고전적인 극한에서 불확정성을 표현하는 면적이 점으로 표현되는 것과 같이
-위의 '자취의 반지름'이 매우 클 경우에는 그 불확정성의 면적 크기는 상대적으로 무시 가능하므로
+위의 '자취의 반지름'이 ($\alpha$) 매우 클 경우에는 그 불확정성의 면적 크기 $(\frac{\hbar}{2})^2$를 상대적으로 무시 가능하므로
 결맞는 상태가 $(x,p)$ 평면 상에서 고전적인 조화 진동자를 모방한다고 표현할 수 있다.
 $$ \\ $$
-===== 시간 진화 (time evolution) =====
+===== 시간 변화 (time evolution) =====
+다음의 결맞는 상태의 식에
+$$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle\\
+= \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-\alpha^* \alpha/2}|n\rangle $$
+'시간 변화 연산자(time evolution operator)'인 $e^{-iHt/\hbar}$ 를 걸어보자.
+\begin{align}
+e^{-iHt/\hbar}|\alpha \rangle = &\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-iHt/\hbar} |n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2} \\
+= &\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-i\hbar \omega (n+\frac{1}{2})t/\hbar} |n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2} \\
+= &\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-in\omega t} |n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2}e^{-i\omega t/2 } \\
+= &\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha e^{-i\omega t})^n}{\sqrt{n!}}|n\rangle e^{-\alpha^* \alpha/2}e^{-i\omega t/2 } \\
+= &|\alpha e^{-i\omega t }\rangle e^{-i\omega t/2 }
+\end{align}
+$$ \\ $$
+즉, $e^{-iHt/\hbar} | \alpha \rangle  = |\alpha e^{-i\omega t }\rangle e^{-i\omega t/2 }$의 관계식이 성립한다.
+$$ \\ $$
+이러한 결과와 오일러 공식(Euler formula), 그리고 $\alpha$와 $\langle x \rangle, \langle\hat{p}\rangle$의 관계식을 떠올려 볼 때
+$$
+e^{-i\omega t}=\cos(\omega t)-i\sin(\omega t)
+\\
+\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} (\langle x \rangle + i\langle \hat{p} \rangle), \ i=e^{\pi/2}
+$$
+(위에서 살펴본 그림과 같이) 고전적인 극한($\alpha \gg 1$)에서는 결맞는 상태를 위상 평면 상에서 이해할 때
+불확정성을 무시 가능하며 운동하는 입자로 취급할 수 있다는 것을 알 수 있다.
+$$ \\ $$
+===== 참고 문헌 =====
+Hitoshi Murayama, Jan27 151 Coherent state, QFT on 1D lattice, 2021. (lecture of Prof. Hitoshi Murayama)