물리:결맞는_상태_coherent_state

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision		 Previous revision
물리:결맞는_상태_coherent_state [2023/01/21 13:53] – minwoo물리:결맞는_상태_coherent_state [2023/11/15 16:54] (current) – minwoo
Line 1: Line 1:
 ====== 양자 조화 진동자 ====== ====== 양자 조화 진동자 ======
 +
 ==== 조화 진동자 (고전적 모형과의 차이) ==== ==== 조화 진동자 (고전적 모형과의 차이) ====
  
Line 106: Line 107:
 $ \\ $ $ \\ $
  
-결맞는 상태 $| alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면+결맞는 상태 $| \alpha \rangle$ 를 아래와 같이 $|n \rangle$을 기저로 하여 생성한다면
  
 $$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(\alpha) |n\rangle\\ $$ $$|\alpha\rangle = \sum_{n=0}^{\infty} c_n(\alpha) |n\rangle\\ $$
Line 138: Line 139:
 & \therefore |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle  & \therefore |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty c_n(\alpha) |n\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle 
 \end{align} \end{align}
 +
 +===== 푸아송 분포 (Poisson distribution) =====
 +아래의 '결맞는 상태'에 대해서, 
 +
 +$$ |\alpha\rangle = \sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha^{n}}{\sqrt{n!}}e^{-|\alpha|^2/2}|n\rangle $$
 +
 +$|n \rangle$의 상태로 발견될 확률은 다음과 같다.
 +
 +$$P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$$
 +
 +그런데, $|n \rangle$의 $n$은 에너지의 높고 낮음을 표현하므로
 +
 +이는 $n$개의 광자를 흡수한 상태로 이해할 수 있다.
 +
 +즉, $P(n)=|\langle n | \alpha \rangle|^2=e^{-|\alpha|^2} \frac{\alpha^{2n}}{n!}$는 $n$개의 광자(photon)들을 발견할 확률과 같다.
 +
 +$$ \\ $$
 +이를 통해, 결맞는 상태에 대해서 '평균 광자 수'가 $\langle n \rangle=\langle a^{\dagger}a \rangle=|\alpha|^2$와 같은 푸아송 분포 (Poisson distribution)를 따른다는 것을 알 수 있으며
 +
 +그의 분산도 $|\alpha|^2$이다.
 +
  
 ===== '불확정성 원리' (uncertainty principle) ===== ===== '불확정성 원리' (uncertainty principle) =====
Line 189: Line 211:
 \end{align} \end{align}
  
-즉, $n$이 클수록 불화정성(uncertainty)가 더 크다.+즉, $n$이 클수록 불확정성(uncertainty)가 더 크다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 197: Line 219:
 $$ n \le \frac{1}{2}(x^2+p^2) \le n+1 $$ $$ n \le \frac{1}{2}(x^2+p^2) \le n+1 $$
  
-또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립하는데,  +또한, $\langle n|x|n \rangle=\langle n|\hat{p}|n \rangle=0$ 이 성립한다.
- +
-이는 (슈뢰딩거 방정식을 풀어서 얻을 수 있는) 아래의 확률 분포로도 ($n=30$) 이해할 수 있겠다. +
- +
-{{:물리:prob_distribution_n_30_.png?300|}} +
- +
-양 쪽의 x값에서 입자가 발견될 확률이 가장 높고, 그의 평균 $\langle x \rangle$은 0인 것이다.+
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 270: Line 286:
 즉, 마치 고전적인 극한에서 불확정성을 표현하는 면적이 점으로 표현되는 것과 같이 즉, 마치 고전적인 극한에서 불확정성을 표현하는 면적이 점으로 표현되는 것과 같이
  
-위의 '자취의 반지름'이 매우 클 경우에는 그 불확정성의 면적 크기는 상대적으로 무시 가능하므로+위의 '자취의 반지름'이 ($\alpha$) 매우 클 경우에는 그 불확정성의 면적 크기 $(\frac{\hbar}{2})^2$를 상대적으로 무시 가능하므로
  
 결맞는 상태가 $(x,p)$ 평면 상에서 고전적인 조화 진동자를 모방한다고 표현할 수 있다. 결맞는 상태가 $(x,p)$ 평면 상에서 고전적인 조화 진동자를 모방한다고 표현할 수 있다.
Line 309: Line 325:
 ===== 참고 문헌 ===== ===== 참고 문헌 =====
 Hitoshi Murayama, Jan27 151 Coherent state, QFT on 1D lattice, 2021. (lecture of Prof. Hitoshi Murayama) Hitoshi Murayama, Jan27 151 Coherent state, QFT on 1D lattice, 2021. (lecture of Prof. Hitoshi Murayama)
-Wikipedia, Quantum_harmonic_oscillator. (I use a figure of probability distribution where $n=30$.) 
  • 물리/결맞는_상태_coherent_state.1674276822.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
  • (external edit)