Show pageOld revisionsBacklinksBack to top This page is read only. You can view the source, but not change it. Ask your administrator if you think this is wrong. 파인만의 통계물리 3장 내용을 보충하는 문서이다. ====== 경로적분 ====== [[물리:양자기체의 밀도행렬]] 문서에서 우리는 밀도행렬이 아래와 같은 방정식을 만족한다고 언급하였다. \begin{align} \hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = -H \rho (u) \end{align} 이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고 이 때, $u = \beta \hbar$이다. 기존 방정식과 다른 점은 $\hbar$ 가 곱해졌다는 것과, 해의 지수부분의 $\beta$ 가 $u/\hbar$ 로 바뀌었다는 점인데, 이는 경로적분을 설명하면서 어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다. 다시말해 변수 u의 차원은 **시간**인데, 이를 간단하게 살펴보면, \begin{align} u [s] = \beta\hbar = \frac{\hbar}{k_B T} [\frac{J \cdot s}{J/K \cdot K} = s] \end{align} 시간차원인 것을 확인할 수 있다. 또한, 여기서 시간 u 를 아주 작은 $\epsilon$ 으로 n개 만큼 쪼개면, \begin{align} \rho(u) = e^{-Hu / \hbar} &= e^{-H\epsilon / \hbar}e^{-H\epsilon / \hbar} \cdots e^{-H\epsilon / \hbar} \\ &= \rho_\epsilon \rho_\epsilon \cdots \rho_\epsilon \end{align} 으로 나타낼 수 있고 (물론, $u = n\epsilon$), $\rho(u)$ 가 위치 $x^{\prime}$ 에서 $x$ 의 지점을 시간 $u$ 만큼의 궤적을 말하려면, 양자역학에서의 좌표계 표현 (coordinate representation) 을 이용하여, \begin{align} \rho(x, x^{\prime}; u) = \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle &= \int \cdots \int \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle \cdots \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \\ &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \end{align} 이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 '경로(path)' 라고 하면, 그 모든 경로에 대해 적분한 것, 즉 $\rho(x, x^{\prime}; u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 0으로 보내는 극한으로 보내면, 지금의 식은 \begin{align} \rho(x, x^{\prime}; U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u) \end{align} 으로 바꿀 수 있다. 여기서 전체 경로 적분에 대한 시간을 U, 각 부분 $\epsilon$ 으로 쪼갠 부분의 시간을 u로 썼다. 여기서 $\Phi[x(u)] \,, \mathcal{D}x(u)$ 는 \begin{align} &\Phi[x(u)] = \lim_{\epsilon \rightarrow 0} \rho(x, x_{n-1};\epsilon) \rho(x_{n-1}, x_{n-2};\epsilon) \cdots \rho(x_1, x^{\prime};\epsilon) \\ &\mathcal{D}x(u) = \lim_{n \rightarrow \infty} dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \end{align} 여기서 파인만 책에서는 슈뢰딩거 방정식을 따라가지 않다 보니 일반적인 형태의 시간 변화 연산자 $e^{-iHt/\hbar}$ 의 형태를 사용하고 있지 않다. 이점에 대해서는 책에서도 언급하고 있는데, 사실 처음에 쓴 방정식에서 시간 $u \rightarrow iu$ 이면 익숙한 슈뢰딩거 방정식, \begin{align} -i\hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = H \rho (u) \end{align} 이다. 책에서는 다음과 같이 언급하고 있다. > 방정식의 "u" 가 "iu"로 대치되면 우리는 슈뢰딩거 방정식을 얻을 수 있다. 이러한 통계역학적 방법과 > 같이, 양자역학도 경로적분의 관점으로 공식화 될 수 있다. 수학자들에게는, 통계역학이 더 다루기 쉬운데 > 이는 경로 적분의 지수함수에서 지수부분이 실수의 양인게 다루기 쉽다. ====== 자유입자의 경로적분 ====== ===== 식 3.36의 계산 ===== p80 에 있는 식 3.36 은 식 $F(U)$ 에 대한 일반적인 해라고 소개하고 있다. $F(U)$ 는 아래와 같이 \begin{align} F(U) = \sqrt{m/2\pi\hbar U} e^{\alpha U} \end{align} 으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 먼저 자유입자의 경로적분 표현으로 부터 얻는 밀도행렬의 식 3.34 가 \begin{align} \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp\left[-\frac{m(x_2 - x_1)^2}{2\hbar U}\right] \end{align} 으로 주어진다. 그리고 위의 식의 $F(U)$ 를 얻는 방법은 아래의 식 \begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} \rho(x, x^{\prime}; u_2)\rho(x^{\prime}, y; u_1) \end{align} 으로 부터 얻을 수 있다고 한다. 밀도행렬 $\rho$ 를 두 번째 식을 이용하여 나타내면, 좌변은 \begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1 + u_2)\exp\left[-\frac{m(x - y)^2}{2\hbar \left(u_1 + u_2\right)}\right] \end{align} 이고, 우변은 \begin{align} \rho(x, x^{\prime}, u_2) = F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \\ \rho(x^{\prime}, y, u_1) = F(u_1)\exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align} 으로 나타내어 진다. 계산을 위해 우변의 밀도행렬을 적분항에 대입하면, \begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} F(u_1)F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align} 으로 되는데, 이 적분은 [[물리:양자기체의 밀도행렬]] 에서 보였던 적분으로, 아래의 적분 테이블을 이용하면 간단하게 계산할 수 있다. \begin{align} \int dy \exp[-a(x-y)^2] \exp[-b(y-z)^2] = \left(\frac{\pi}{a+b}\right)^{1/2} \exp \left[-\frac{ab}{a+b}\left(x-z\right)^2\right] \end{align} 적분을 계산하여 정리하면, \begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \exp\left[-\left(\frac{m}{2\hbar}\right)\left(\frac{1}{u_1 + u_2}\right)(x-y)^2\right] \end{align} 이를 좌변의 계산값과 비교하면 아래와 같은 간단한 형태로 정리된다. \begin{align} F(u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \end{align} 등식을 만족하기 위해서 양 변에 $\left[ 2\pi\hbar\left( u_1 + u_2 \right) / m \right]^{1/2}$ 를 곱해주면 \begin{align} F(u_1 + u_2)\left[\frac{2\pi\hbar \left( u_1 + u_2 \right)}{m}\right]^{1/2} = F(u_1)\left[\frac{2\pi\hbar u_1}{m}\right]^{1/2}F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_2}{m}\right]^{1/2} \end{align} 이며 등식을 만족시키기 위해서는 처음에 소개한 $F(U)$ 같은 식이 된다. 물리/경로적분_계산.txt Last modified: 2023/09/05 15:46by 127.0.0.1