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물리:경로적분_계산 [2021/03/29 14:59] – created yong | 물리:경로적분_계산 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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파인만의 통계물리 3장 내용을 보충하는 문서이다. | 파인만의 통계물리 3장 내용을 보충하는 문서이다. | ||
+ | ====== 경로적분 ====== | ||
+ | [[물리: | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = -H \rho (u) | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 이 때 만족하는 해는 $\rho(u) = e^{-Hu / \hbar}$ 이고 이 때, $u = \beta \hbar$이다. 기존 방정식과 다른 점은 | ||
+ | $\hbar$ 가 곱해졌다는 것과, 해의 지수부분의 $\beta$ 가 $u/\hbar$ 로 바뀌었다는 점인데, 이는 경로적분을 설명하면서 | ||
+ | 어떤 지점에서 특정 지점까지의 시간을 볼 것이기 때문이다. 다시말해 변수 u의 차원은 **시간**인데, | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | u [s] = \beta\hbar = \frac{\hbar}{k_B T} [\frac{J \cdot s}{J/K \cdot K} = s] | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 시간차원인 것을 확인할 수 있다. 또한, 여기서 시간 u 를 아주 작은 $\epsilon$ 으로 n개 만큼 쪼개면, | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \rho(u) = e^{-Hu / \hbar} &= e^{-H\epsilon / \hbar}e^{-H\epsilon / \hbar} \cdots e^{-H\epsilon / \hbar} \\ | ||
+ | &= \rho_\epsilon \rho_\epsilon \cdots \rho_\epsilon | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 으로 나타낼 수 있고 (물론, $u = n\epsilon$), | ||
+ | 시간 $u$ 만큼의 궤적을 말하려면, | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \rho(x, x^{\prime}; u) = | ||
+ | \langle x \vert \rho(u) \vert x^{\prime} \rangle | ||
+ | &= \int \cdots \int \langle x \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-1} \rangle | ||
+ | \langle x_{n-1} \vert \rho_\epsilon \vert x_{n-2} \rangle | ||
+ | \cdots | ||
+ | \langle x_1 \vert \rho_\epsilon \vert x^{\prime} \rangle | ||
+ | dx_1 dx_2 \cdots dx_{n-1} \\ | ||
+ | &= \int \cdots \int \rho(x, x_{n-1}; | ||
+ | \cdots | ||
+ | \rho(x_1, x^{\prime}; | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 이라고 쓸 수 있다. $\epsilon$ 만큼 쪼갠 $\rho$ 를 ' | ||
+ | 즉 $\rho(x, x^{\prime}; u)$ 는 전체 진폭이라고 하자. 이제 앞에서 $\epsilon$ 만큼 쪼갠 시간을 0으로 보내는 극한으로 보내면, | ||
+ | 지금의 식은 | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \rho(x, x^{\prime}; U) = \int \Phi[x(u)]\mathcal{D}x(u) | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 으로 바꿀 수 있다. 여기서 전체 경로 적분에 대한 시간을 U, 각 부분 $\epsilon$ 으로 쪼갠 부분의 시간을 u로 썼다. | ||
+ | 여기서 $\Phi[x(u)] \,, \mathcal{D}x(u)$ 는 | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | & | ||
+ | \rho(x, x_{n-1}; | ||
+ | & | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 여기서 파인만 책에서는 슈뢰딩거 방정식을 따라가지 않다 보니 일반적인 형태의 시간 변화 연산자 $e^{-iHt/ | ||
+ | 이점에 대해서는 책에서도 언급하고 있는데, 사실 처음에 쓴 방정식에서 시간 $u \rightarrow iu$ 이면 익숙한 슈뢰딩거 방정식, | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | -i\hbar \frac{\partial \rho(u)}{\partial u} = H \rho (u) | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 이다. 책에서는 다음과 같이 언급하고 있다. | ||
+ | |||
+ | > 방정식의 " | ||
+ | > 같이, 양자역학도 경로적분의 관점으로 공식화 될 수 있다. 수학자들에게는, | ||
+ | > 이는 경로 적분의 지수함수에서 지수부분이 실수의 양인게 다루기 쉽다. | ||
====== 자유입자의 경로적분 ====== | ====== 자유입자의 경로적분 ====== | ||
Line 13: | Line 80: | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
- | \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp[-m(x_2 - x_1)^2 | + | \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp\left[-\frac{m(x_2 - x_1)^2}{2\hbar U}\right] |
\end{align} | \end{align} | ||
Line 22: | Line 89: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
- | 으로 부터 얻을 수 있다고 한다. | + | 으로 부터 얻을 수 있다고 한다. |
\begin{align} | \begin{align} | ||
- | \rho(x, | + | \rho(x, |
- | \rho(x^{\prime}, x, u_1) = F(U)\exp[-m(x^{\prime} - x)^2 / 2\hbar u_1] | + | |
\end{align} | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 이고, 우변은 | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \rho(x, x^{\prime}, u_2) = F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \\ | ||
+ | \rho(x^{\prime}, | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 으로 나타내어 진다. 계산을 위해 우변의 밀도행렬을 적분항에 대입하면, | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} F(u_1)F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] | ||
+ | \exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 으로 되는데, 이 적분은 [[물리: | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \int dy \exp[-a(x-y)^2] \exp[-b(y-z)^2] = \left(\frac{\pi}{a+b}\right)^{1/ | ||
+ | \exp \left[-\frac{ab}{a+b}\left(x-z\right)^2\right] | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 적분을 계산하여 정리하면, | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/ | ||
+ | \exp\left[-\left(\frac{m}{2\hbar}\right)\left(\frac{1}{u_1 + u_2}\right)(x-y)^2\right] | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 이를 좌변의 계산값과 비교하면 아래와 같은 간단한 형태로 정리된다. | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | F(u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/ | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 등식을 만족하기 위해서 양 변에 $\left[ 2\pi\hbar\left( u_1 + u_2 \right) / m \right]^{1/ | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | F(u_1 + u_2)\left[\frac{2\pi\hbar \left( u_1 + u_2 \right)}{m}\right]^{1/ | ||
+ | = F(u_1)\left[\frac{2\pi\hbar u_1}{m}\right]^{1/ | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 이며 등식을 만족시키기 위해서는 처음에 소개한 $F(U)$ 같은 식이 된다. | ||