자유입자의 경로적분

p80 에 있는 식 3.36 은 식 $F(U)$ 에 대한 일반적인 해라고 소개하고 있다. $F(U)$ 는 아래와 같이

\begin{align} F(U) = \sqrt{m/2\pi\hbar U} e^{\alpha U} \end{align}

으로 주어지는데, 이것을 유도해보도록 하자. 먼저 자유입자의 경로적분 표현으로 부터 얻는 밀도행렬의 식 3.34 가

\begin{align} \rho(x_2, x_1, U) = F(U)\exp\left[-\frac{m(x_2 - x_1)^2}{2\hbar U}\right] \end{align}

으로 주어진다. 그리고 위의 식의 $F(U)$ 를 얻는 방법은 아래의 식

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} \rho(x, x^{\prime}; u_2)\rho(x^{\prime}, y; u_1) \end{align}

으로 부터 얻을 수 있다고 한다. 밀도행렬 $\rho$ 를 두 번째 식을 이용하여 나타내면, 좌변은

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1 + u_2)\exp\left[-\frac{m(x - y)^2}{2\hbar \left(u_1 + u_2\right)}\right] \end{align}

이고, 우변은

\begin{align} \rho(x, x^{\prime}, u_2) = F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \\ \rho(x^{\prime}, y, u_1) = F(u_1)\exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align}

으로 나타내어 진다. 계산을 위해 우변의 밀도행렬을 적분항에 대입하면,

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = \int dx^{\prime} F(u_1)F(u_2)\exp\left[-\frac{m(x - x^{\prime})^2}{2\hbar u_2}\right] \exp\left[-\frac{m(x^{\prime} - y)^2}{2\hbar u_1}\right] \end{align}

으로 되는데, 이 적분은 양자기체의 밀도행렬 에서 보였던 적분으로, 아래의 적분 테이블을 이용하면 간단하게 계산할 수 있다.

\begin{align} \int dy \exp[-a(x-y)^2] \exp[-b(y-z)^2] = \left(\frac{\pi}{a+b}\right)^{1/2} \exp \left[-\frac{ab}{a+b}\left(x-z\right)^2\right] \end{align}

적분을 계산하여 정리하면,

\begin{align} \rho(x, y, u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \exp\left[-\left(\frac{m}{2\hbar}\right)\left(\frac{1}{u_1 + u_2}\right)(x-y)^2\right] \end{align}

이를 좌변의 계산값과 비교하면 아래와 같은 간단한 형태로 정리된다.

\begin{align} F(u_1 + u_2) = F(u_1)F(u_2)\left[\frac{2\pi\hbar u_1 u_2}{m(u_1 + u_2)}\right]^{1/2} \end{align}