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--- 물리:기체분자운동론 [2014/10/08 18:25] – 새로 만듦 admin
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 맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다.
-$N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N \phi(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z$라고 하자.
+$N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N g(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z$라고 하자.
-$v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $\phi(v_x,v_y,v_z) = f(v_x) f(v_y) f(v_z)$처럼 확률의 곱 형태로 쓸 수 있다. 나아가 $x,y,z$라는 방향은 우리가 임의로 택하는 것이므로 $\phi(\vec{v})$는 다음처럼 $\vec{v}$의 크기 $v$에만 의존할 것이다:
+$v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $g(v_x,v_y,v_z) = f(v_x) f(v_y) f(v_z)$처럼 확률의 곱 형태로 쓸 수 있다. 나아가 $x,y,z$라는 방향은 우리가 임의로 택하는 것이므로 $g(\vec{v})$는 다음처럼 $\vec{v}$의 크기 $v$에만 의존할 것이다:
-$$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = \phi(v_x, v_y,v_z) = \phi(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \phi(v^2).$$
+$$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = g(v_x, v_y,v_z) = g(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = g(v^2).$$
-맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $\phi(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/\alpha^2$으로 음수여야 한다. 이 $\alpha$는 이상기체 상태방정식을 통해 결정될 것이다.
+맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $g(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/\alpha^2$으로 음수여야 한다. 이 $\alpha$는 이상기체 상태방정식을 통해 결정될 것이다.
 $\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 ([[수학:가우스 적분]] 참고). 따라서
-$$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/\alpha^2$$
+$$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/\alpha^2}$$
 를 얻는다.
-======맥스웰 속력 분포======
+======구면좌표계에서의 표현======
+위의 $g(v_x, v_y,v_z)$를 구면좌표계에서 $g(v, \theta,\phi)$로 표현하는 것이 더 편리할 때가 있다.
+[[수학:야코비언]]에 유의하여 써보면, 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$, $(\phi,\phi+d\phi)$에 있을 확률은 다음과 같다:
+$$g(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z = g(v,\theta,\phi) v^2 \sin \theta ~dv ~d\theta ~d\phi.$$
+계에 방향성이 없는 경우, 먼저 $\phi$에 대해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하자. 그러면 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$에 있을 확률은
+$$2\pi v^2 g(\vec{v})dv \times \sin \theta ~d\theta = 4\pi v^2 g(\vec{v})dv \times \frac{1}{2} \sin \theta ~d\theta = f_s(v) dv \times \frac{1}{2} \sin \theta d\theta$$
+이다. 이 때에 $f_s(v) dv= 4\pi v^2 g(\vec{v}) dv$는 속력이 $(v,v+dv)$ 사이에 있을 확률로,
+여기 곱해진 $4\pi v^2 dv$는 반지름이 $v$이고 두께가 $dv$인 구형 껍질의 부피를 의미한다.
+입체각 $\Omega$를 통해 $\frac{1}{2} \sin \theta d\theta= \frac{d\Omega}{4\pi}$로 표현할 수도 있다.
 ======압력======
+부피 $V$인 상자 안에 질량 $m$인 이상기체 분자 $N$개가 있고, 이들이 온도 $T$에서 평형을 이루어 맥스웰 분포를 따르고 있다고 하자.
+시간 $\Delta t$ 동안 넓이가 $A$인 면에 전달되는 운동량을 계산하려고 한다.
+  -어떤 기체분자가 면의 방향, 즉 면에서 수직하게 뻗어나오는 방향에 대해 $\theta$의 각도를 가지고 속력 $v$로 날아온다고 생각한다. 면 쪽으로 다가오려면 $\theta$는 $0$과 $\pi/2$ 사이에 있어야 하고, 실제 면에 가까워지는 속력은 $v \cos \theta$일 것이다.
+  -$\Delta t$ 동안에 면에 닿으려면 이 입자는 애초 $v \cos \theta \Delta t$보다 가까운 거리에 위치했어야 한다. 따라서 우리가 고려하는 입자들은 $v \cos\theta \Delta t A$의 부피 안에 있는 것들뿐이다. 전체 부피 $V$ 안에 있는 입자의 갯수가 $N$이므로, 우리가 보아야 할 입자의 수는 $N' = v\cos \theta \Delta t A \times N/V$이다.
+  -그 중 속력이 $(v,v+dv)$ 사이에 있고 방향이 $(\theta, \theta+d\theta)$ 사이에 있는 입자의 수는, 위에서 논의한 바에 따라 $N' f_s(v) dv \frac{1}{2} \sin \theta d\theta$가 된다.
+  -면에 부딪힌 후 튕겨 나가면서 전달하는 운동량은 $\Delta p = 2mv \cos \theta$이다.
+따라서 전달된 운동량의 총량은 평균적으로
+$$\Delta p_{\rm tot} = \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty \Delta p N' f_s(v) dv \frac{1}{2} \sin \theta d\theta$$
+이고 압력은
+\begin{eqnarray*}
+P &=& \frac{\Delta p_{\rm tot}}{\Delta t} \frac{1}{A}\\
+&=& \int_0^{\pi/2} \int_0^\infty 2 mv\cos\theta \times v \cos \theta \times \frac{N}{V} \times f_s(v) dv \frac{1}{2} \sin \theta d\theta\\
+&=& \frac{N}{V} m \int_0^{\pi/2} \cos^2 \theta \sin \theta d\theta \int_0^\infty v^2 f_s(v) dv\\
+&=& \frac{N}{V} m \frac{1}{3} \left< v^2 \right>
+\end{eqnarray*}
+이다. 계산해보면 $\left< v^2 \right> = \frac{3}{2\alpha}$이므로 $P=\frac{N}{V} m \frac{1}{2\alpha}$을 얻는다.
+이를 이상기체의 상태방정식 $PV=Nk_B T$와 비교하면 $\alpha = \frac{m}{2k_B T}$임을 결정할 수 있다. 이 때 $k_B$는 볼츠만 상수, $T$는 온도를 의미한다.
 ======참고문헌======
   -에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, //고전물리학의 창시자들을 찾아서 (From Falling Bodies to Radio Waves)// (전파과학사, 서울, 1984).
+  -R. Swendsen, //An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics// (Oxford Univ. Press, Oxford, 2012).