맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다.

$N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N \phi(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z$라고 하자.

$v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $\phi(v_x,v_y,v_z) = f(v_x) f(v_y) f(v_z)$처럼 확률의 곱 형태로 쓸 수 있다. 나아가 $x,y,z$라는 방향은 우리가 임의로 택하는 것이므로 $\phi(\vec{v})$는 다음처럼 $\vec{v}$의 크기 $v$에만 의존할 것이다: $$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = \phi(v_x, v_y,v_z) = \phi(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \phi(v^2).$$

맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $\phi(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/\alpha^2$으로 음수여야 한다. 이 $\alpha$는 이상기체 상태방정식을 통해 결정될 것이다.

$\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 (가우스 적분 참고). 따라서 $$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/\alpha^2$$ 를 얻는다.

위의 $\phi(v_x, v_y,v_z)$를 구면좌표계에서 $\phi(v, \theta,\phi)$로 표현하는 것이 더 편리할 때가 있다. 야코비언에 유의하여 써보면, 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$, $(\phi,\phi+d\phi)$에 있을 확률은 다음과 같다: $$\phi(v_x,v_y,v_z) dv_x dv_y dv_z = \phi(v,\theta,\phi) v^2 \sin \theta ~dv ~d\theta ~d\phi.$$ 계에 방향성이 없는 경우, 먼저 $\phi$에 대해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하자. 그러면 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$에 있을 확률은 $$2\pi v^2 \phi(v)dv \times \sin \theta ~d\theta = 4\pi v^2 \phi(v)dv \times \frac{1}{2} \sin \theta ~d\theta = f_s(v) dv \times \frac{d\Omega}{4\pi},$$ 이다. 이 때에 $f_s(v) = 4\pi v^2 \phi(v)$는 속력 분포를 주는 확률 밀도 함수, $\Omega$는 입체각이다.

1. 에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, 고전물리학의 창시자들을 찾아서 (From Falling Bodies to Radio Waves) (전파과학사, 서울, 1984).