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물리:기체분자운동론 [2014/10/10 08:36] – [압력] admin | 물리:기체분자운동론 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다. | 맥스웰 자신의 유도 과정은 간명하다. | ||
- | $N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N \phi(v_x, | + | $N$개의 단분자 이상기체 입자를 생각해보자. $x,y,z$ 방향의 속도가 각각 $(v_x, v_x+dv_x)$, $(v_y, v_y+dv_y)$, $(v_z, v_z+dv_z)$의 간격 안에 있는 입자의 수를 $N g(v_x, |
- | $v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $\phi(v_x, | + | $v_x$, $v_y$, $v_z$는 서로 독립이므로 $g(v_x, |
- | $$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = \phi(v_x, v_y,v_z) = \phi(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = \phi(v^2).$$ | + | $$f(v_x) f(v_y) f(v_z) = g(v_x, v_y,v_z) = g(v_x^2 + v_y^2 + v_z^2) = g(v^2).$$ |
- | 맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $\phi(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/ | + | 맥스웰은 이 함수 방정식을 만족하는 해가 $f(v_i)=C e^{Av_i^2}$이고 따라서 $g(v^2) = C^3 e^{Av^2}$일 것이라고 추론했다. 이 해가 $x \rightarrow \infty$에서 발산하지 않으려면 $A = -1/ |
$\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 ([[수학: | $\int_{-\infty}^{\infty} f(v_i) dv_i = 1$이라는 규격화 조건에 의해 상수 $C$가 $\frac{1}{\alpha \sqrt{\pi}}$로 결정된다 ([[수학: | ||
- | $$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/ | + | $$f(v_i) = \frac{1}{\alpha\sqrt{\pi}} e^{-v_i^2/ |
를 얻는다. | 를 얻는다. | ||
- | ======맥스웰 속력 분포====== | + | ======구면좌표계에서의 표현====== |
- | 위의 $\phi(v_x, v_y, | + | 위의 $g(v_x, v_y, |
[[수학: | [[수학: | ||
- | $$\phi(v_x, | + | $$g(v_x, |
계에 방향성이 없는 경우, 먼저 $\phi$에 대해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하자. 그러면 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$에 있을 확률은 | 계에 방향성이 없는 경우, 먼저 $\phi$에 대해 $0$부터 $2\pi$까지 적분하자. 그러면 속력과 방향이 $(v,v+dv)$, $(\theta, \theta+d\theta)$에 있을 확률은 | ||
- | $$2\pi v^2 \phi(\vec{v})dv \times \sin \theta ~d\theta = 4\pi v^2 \phi(\vec{v})dv \times \frac{1}{2} \sin \theta ~d\theta = f_s(v) dv \times \frac{d\Omega}{4\pi},$$ | + | $$2\pi v^2 g(\vec{v})dv \times \sin \theta ~d\theta = 4\pi v^2 g(\vec{v})dv \times \frac{1}{2} \sin \theta ~d\theta = f_s(v) dv \times \frac{1}{2} \sin \theta d\theta$$ |
- | 이다. 이 때에 $f_s(v) dv= 4\pi v^2 \phi(\vec{v}) dv$는 속력이 $(v,v+dv)$ 사이에 있을 확률, | + | 이다. 이 때에 $f_s(v) dv= 4\pi v^2 g(\vec{v}) dv$는 속력이 $(v,v+dv)$ 사이에 있을 확률로, |
- | 물론 | + | 여기 곱해진 |
+ | 입체각 $\Omega$를 통해 $\frac{1}{2} \sin \theta d\theta= \frac{d\Omega}{4\pi}$로 표현할 수도 있다. | ||
Line 48: | Line 49: | ||
======참고문헌====== | ======참고문헌====== | ||
-에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, // | -에밀리오 세그레 지음, 노봉환 옮김, // | ||
+ | -R. Swendsen, //An Introduction to Statistical Mechanics and Thermodynamics// | ||