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--- 물리:단일_입자_양자역학 [2023/10/24 16:17] – minwoo
+++ 물리:단일_입자_양자역학 [2023/11/20 16:42] – minwoo
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 우선 '빛 보다 빠른 입자'를 '빛원뿔(light cone)'위에서 더 쉽게 이해할 수 있다.
-{{:물리:그림_8.2_no_comment_.png?300|}}
+{{:물리:lightcone.png?250|}}
-즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다.
+즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. ($c=1$로 두었다.)
 $$ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 >0 $$
@@ Line 19: / Line 19: @@
 $$ \\ $$
 이때,
-$ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $의 경로(space-like라고 부른다)를 따라가는 경로는 허용가능하지 않는 것이다.
+$ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $의 경로(space-like라고 부른다)를 따라가는 경로는 허용되지 않는 것이다.
-그럼 해당 경로에 대해서, 다음과 같은 양을 정의하고
+그럼, 다음과 같은 양을 정의하고
 $$ \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle $$
-$$
+해당 경로(space-like)에서 $| \mathcal{A}| ^2$이 0이 아닌지를 확인해보자.
+$$ \\ $$
+===== $\mathcal{A}$ =====
+$\mathcal{A}$를 운동량(momentum) 공간에서 다음과 같이 기술할 수 있다.
+$$
 \begin{align}
 \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle &=
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 \end{align}
 $$
-$| \mathcal{A}| ^2$이 0이 아닌지를 확인해보자.
 $$ \\ $$
-첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^ep | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다.
+첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^3p | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다.
@@ Line 62: / Line 68: @@
 $$
 \begin{align}
-\mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\
+\mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta\ \sin\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\
 &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{-1} _{1} (-du) e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\
 &= \frac{1}{{(2\pi)^3}}\int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0  d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|^2 \int^{1} _{-1} du e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\
@@ Line 78: / Line 84: @@
 구면 좌표계의 야코비안(Jacobian)이 $r^2 \sin\theta $임을 참고하자.
-$$ \\ $$
-(참고로, 위의 계산에서 아직 $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $라는 조건은 대입하지 않았다.)
 $$ \\ $$
 위에서 마지막 줄의 적분식을 두 항으로 분리한 뒤, 적분 범위를 아래와 같이 바꿔주면 보다 간단해진다.
 $$
 \begin{align}
 \mathcal{A} &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
@@ Line 110: / Line 114: @@
 위의 적분을 풀이하는 수학적인 방법은 복소(complex) 적분이다.
-===== $\mathcal{A}$ : 복소 적분 =====
+=====  복소 적분 =====
 우리가 계산하고자 하는 적분은 $|\boldsymbol{p}|$의 $-\infty$ 부터 $\infty$까지의 범위에 대한 적분이므로
@@ Line 121: / Line 125: @@
 $$
+{{:물리:fig_a.png?250|}}
-{{:물리:그림_8.3_a_.png?250|}}
 (허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다.
@@ Line 142: / Line 145: @@
 이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다.
-{{:물리:그림_8.3_b_.png?250|}}
+{{:물리:fig_b.png?250|}}
 따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다.
+$$ \\ $$
+또한, 반원의 크기가 커질수록 그 반원을 지나는 적분의 (총 적분에 대한) 기여분은 $0$에 근접한다.
 $$ \\ $$
-또한, '조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma)'에 따르면, 반원의 크기가 커질수록
+따라서, '조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma)'에 따르면, 유의미한 적분 경로는 아래의 그림과 같다.
-반원을 지나는 적분의 (총 적분에 대한) 기여분은 $0$에 근접한다.
+{{:물리:fig_c.png?250|}}
 ('조르당의 보조 정리'는 이번 게시글 맨 아래에 보충 설명하였다.)
 $$ \\ $$
-따라서, 유의미한 적분 경로는 아래의 그림과 같다.
+따라서, $\mathcal{A}$에 대한 적분 식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.
-{{:물리:그림_8.3_c_.png?250|}}
+$$
+\begin{align}
+\mathcal{A}  &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right)  \\
+&=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|} \bigg[\left(\int^m_{\infty } d(iz)\  iz
+  e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}}  \right)  \\
+  & \qquad \qquad  \ \ + \bigg[\left(\int^\infty_{m} d(iz)\  iz
+  e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{ t\sqrt{z^2 - m^2}}  \right)  \bigg]\\
+&=  \frac{ i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|} \bigg[-\left(\int^{\infty }_m dz\  z
+  e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}}  \right)  \\
+  & \qquad \qquad  \ \ + \bigg[\left(\int^\infty_{m} dz\  z
+  e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{ t\sqrt{z^2 - m^2}}  \right)  \bigg] \\
+&=  \frac{i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|} \int_m^\infty dz \ ze^{-z|\boldsymbol{x}|}\left( e^{t\sqrt{z^2-m^2}}-e^{-t\sqrt{z^2-m^2}}
+\right) \\
+&= \frac{i}{2\pi^2|\boldsymbol{x}|} \int_m^\infty dz \ ze^{-(z-m)|\boldsymbol{x}|} \sinh\left(t\sqrt{z^2-m^2}\right)
+\\ \\
+& \quad \quad \quad \left(\because \sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right)
+\end{align}
+$$
+위의 적분에서, 복소 평면 상의 2사분면에서는 $e^{t\sqrt{z^2-m^2}}$의 지수가 음수인데, 이는 $z$의 크기가 커질수록 지수적으로 감소하는 경향성이 반영된 것이고
+사분면에서는 $e^{t\sqrt{z^2-m^2}}$의 지수가 양수로서 $z$의 크기가 커질수록 지수적으로 증가하는 경향성이 반영된 것이다.
+(이에 대한 수학적인 이유는 아래의 '조르당의 보조 정리'에서 함께 설명하였다.)
+$$ \\ $$
+위의 적분 경로에 대해서 피적분함수는 양의 부호를 갖는다. 따라서, $|\mathcal{A}|^2$은 $0$이 아닌 값을 갖게 된다.
+이는 단일입자로 기술되는 양자역학은 더 이상 적절하지 않음을 의미한다.
 $$ \\ $$
 ===== 조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma) =====
+조르당의 보조 정리란,
+$ (1)\ \gamma >0 $ 이며
+$ (2)\ f(\tilde{z}) $가 $\lim_{R \to \infty} |f(Re^{i\theta})|=0$을 만족하는(well-behaved) 함수일 때,
+'무한한 크기를 가지며 양의 허수축에 정의되는 반원'을 따라서 다음의 적분을 계산한 결과는 $0$이라는 것이다.
+$$ \int_{-\infty}^{\infty} d\tilde{z}\ f(\tilde{z})e^{i\gamma \tilde{z}}$$
 $$ \\ $$
+앞서 설명한 경우에서는, 아래의 적분에서 $|\boldsymbol{p}|=a+ib$로 두었을 때
+$$
+\begin{align}
+\mathcal{A}  &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right]  \\
+& = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} | \ |\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}} \
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \right] \\
+\end{align}
+$$
+$\gamma $가 $|x|$이고 $f(\tilde{z})$는 $|\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}}$에 대응된다.
+$$\\$$
+$R$의 증가에 의해서 감소하는 경향을 살펴보기 위해
+복소 평면 상에서 $a<0, \ b>0$인 영역과 $a>0, \ b>0$인 각각의 영역에서 $a,b$가 증가할 때 (점점 큰 반지름 $\sqrt{a^2+b^2}$을 갖는 반원 위의 경로에서)
+$(a+ib) e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$이 어떠한 경향성을 보이는지 확인하자.
+$$ \\ $$
+==== $(i)\ \ a<0,\ b>0, \ \sqrt{a^2+b^2} \gg 1$ ====
+오일러 공식을 통한 극좌표 형식으로, 아래의 복소수를 바꿔서 표현해보자.
+$$((a^2-b^2+m^2) +i(2ab))=Ae^{i\theta}$$
+이때, $A=\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}$이며, 위상(phase)각은 다음과 같다.
+$$ \theta = \begin{cases}
+  \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)  & \text{for } (a^2-b^2+m^2)>0\\
+  \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)  & \text{for } (a^2-b^2+m^2)<0, \ ab\ge 0\\
+  -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)  & \text{for } (a^2-b^2+m^2)<0, \ ab<0\\
+  \frac{\pi}{2} & \text{for } (a^2-b^2+m^2)=0, \ ab>0\\
+  -\frac{\pi}{2} & \text{for } (a^2-b^2+m^2)=0, \ ab<0
+\end{cases}
+$$
+이때, 우선 $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$만을 극좌표 형식으로 바꿔서 나타내면 아래와 같다.
+$$
+ \exp\left[{-it\sqrt{Ae^{i\theta}}}\right]
+ =\exp\left[{-it\ \sqrt{A}e^{i\frac{\theta}{2} }}\right]\\
+ =\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) -it\sqrt{A}\cos(\theta/2)\right] \\
+ =\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) \right]\exp\left[ -it\sqrt{A}\cos(\theta/2)\right]
+$$
+따라서, ($t>0$이므로) 결국 $\sin(\theta/2)$의 부호가 $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 경향성을 결정한다.
+$(i)$의 경우에 대해서, $a<0, \ b>0$이며 $\sqrt{a^2+b^2} \gg 1$인 경우이므로
+$ab<0$라는 공통적인 조건을 갖는 상황에서, 아래와 같이 2가지 경우의 극한에 대해서 확인해볼 수 있다.
+$$ \\ $$
+===$(1) \ a \gg b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ ===
+이 경우, 위에서 살펴본 위상각($\theta$)의 정의를 참고하면
+$\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 양수임을 알 수 있다.
+또한, $a \gg b$이며 $\sqrt{a^2+b^2} \to \infty$의 극한을 고려한다면, $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)$는 $0$에 가까운 음의 값을 갖게 될 것이다. ($\because ab<0$)
+$$ \\ $$
+그 경우에 $\sin(\theta/2)$의 부호도 음수이므로, 해당 경우에
+$\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) \right]\exp\left[ -it\sqrt{A}\cos(\theta/2)\right]$는
+(해당 경우에서 $A=\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}$가 증가하므로)
+지수적으로 감소하는 항이다.
+$$ \\ $$
+===$(2) \ a \ll b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ ===
+이 경우는 $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 음수의 값을 갖는다.
+이때, $\sqrt{a^2+b^2}\to \infty$의 극한에서  $-\pi+\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)$는 $-\pi$에 가까운 값을 갖는다. 표현하자면, $-\pi +\epsilon$이며, $\epsilon$은 어떤 양의 실수이다.
+$$ \\ $$
+따라서, 위상각 $\theta$는 (위에서 살펴본 식에 의하면, $\{2ab/(a^2-b^2+m^2)\}$의 부호에 따라서) $-\pi/2$ 또는 $-3\pi/2$에 가까운 값을 갖는다.
+$$ \\ $$
+따라서, $\sin(\theta/2)$의 부호는 음수이므로, 해당 경우에
+$\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) \right]\exp\left[ -it\sqrt{A}\cos(\theta/2)\right]$는
+지수적으로 감소하는 항이다.
+$$ \\ $$
+==== $(ii)\ \ a>0,\ b>0, \ \sqrt{a^2+b^2} \gg 1$ ====
+이번에는 $a$와 $b$가 둘 다 양수인 경우로서 $ab>0$인 경우를 살펴보고자 한다.
+===$(1) \ a \ll b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ ===
+이 경우는 $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 음수의 값을 갖는다.
+마찬가지로 확인해보자면, $\sqrt{a^2+b^2}\to \infty$의 극한에서  $\theta = \pi+\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)$는 $\pi$에 가까운 값을 갖는다.
+따라서, $\theta = \pi -\epsilon$이며, $\epsilon$은 어떤 양의 실수이다.
+$$ \\ $$
+그 경우에 $\sin(\theta/2)$의 부호는 양수이므로,
+$\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) \right]\exp\left[ -it\sqrt{A}\cos(\theta/2)\right]$는
+지수적으로 증가하는 항이다.
+$$ \\ $$
+===$(2) \ a \gg b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ ===
+이 경우는 $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 양수의 값을 갖는다.
+확인해보자면, $\sqrt{a^2+b^2}\to \infty$의 극한에서  $\theta =  \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right)$는 $0$에 가까운 양의 값을 갖는다.
+$$ \\ $$
+그 경우에 $\sin(\theta/2)$의 부호는 양수이므로,
+$\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) \right]\exp\left[ -it\sqrt{A}\cos(\theta/2)\right]$도 지수적으로 증가하는 항이다.
+$$ \\ $$
+==== 지수적 증가 : 해당 적분 계산에서 중요하지 않은 이유 ====
+우리는 위에서 $e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} = e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 항이 지수적으로 감소하는지, 증가하는지를 확인해보았고
+$a<0,\ b>0$일 때는 지수적으로 감소하지만, $a>0, \ b>0$인 경우에는 지수적으로 증가함을 확인하였다.
+$$ \\ $$
+다만, 지수적으로 증가하는 경우에도 피적분함수는 발산하지 않는다. 조르당의 보조 정리를 언급한 부분에서의 수식은 다음과 같았다.
+\begin{align}
+\mathcal{A} &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right]  \\
+&= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+  e^{i(\alpha |\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|)} \ e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}| + t\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}\}} \right]
+\end{align}
+여기에서 $\alpha$는 꽤 작은 수여서, $1-\alpha$가 $1$에 매우 가까운 상수라고 하자.
+이때, $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 지수적인 감소 또는 증가를 결정하는 것은
+$$
+\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/2) \right]\\
+=\exp\left[t\sqrt{\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}}\sin(\theta/2)\right]
+$$
+이다.
+$$ \\ $$
+여기에서, $ab>0$이며 $a\gg b$인 경우에서는
+$\exp\left[t\sqrt{\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}}\sin(\theta/2)\right]$의 크기 정도는 $\exp\left[t\{a\sin(\theta/2)\}\right]$인데,
+$a\gg b, \sqrt{a^2+b^2}\to \infty$인 경우는 $2ab/(a^2-b^2 +m^2)\approx 0 $이며 $\theta \approx 0$이었다. 따라서, 작은각 근사와 테일러 전개(Taylor expansion)을 다음과 같이 이용하면
+$$
+\sin(\theta/2) = \theta/2-\mathcal{O}(\theta^3)\\
+\approx \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) \\
+\approx \frac{ab}{a^2-b^2+m^2}
+$$
+이 되므로, $a$의 발산으로 인해 해당 $\exp$항이 발산하지 않는다.
+따라서,  $e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|\}}$의 $e^{-\{1-\alpha\} b|\boldsymbol{x}| }$에 의해 지수적으로 감소한다.
+$$ \\ $$
+한편, $ab>0$이며 $a\ll b$인 경우에서는 $\theta$에 대해서 곧바로 작은각 근사를 적용할 수 없다. ($\because \theta \approx \pi$)
+또한, $b \gg a$인 경우이므로 $\exp\left[t\sqrt{\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}}\sin(\theta/2)\right]$의 크기 정도는 $\exp\left[t\{b\sin(\theta/2)\}\right]$이다.
+$$ \\ $$
+다만, 전체 피적분함수를 고려하면 다음과 같다.
+$$
+f(\tilde{z})=|a+ib| e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}\\
+\propto |a+ib|\exp\left[-\{1-\alpha\}b|\boldsymbol{x}|+bt\sin(\theta/2)\right]
+$$
+이때, 우리가 고려하는 적분 경로는 $|\boldsymbol{x}| > t$로서, 특수 상대성이론을 위배하는 경우이다.
+또한 $\theta$는 $\pi$ 보다 작은 수이다.
+$$ \\ $$
+따라서, 어떠한 경우에서도 $b>0$에서 반원의 반지름이 커짐에 따라 피적분함수는 증가하지 않고, 지수적으로 감소하게 된다.
+그렇기에 앞선 과정에서 처럼 조르당의 보조 정리를 사용할 수 있다.
 ====== 참고문헌 ======
 . Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014.
+. Jack Gunion and U.C. Davis, Class Notes for Quantum Field Theory: Section I.