Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

--- 물리:단일_입자_양자역학 [2023/10/30 15:19] – minwoo
+++ 물리:단일_입자_양자역학 [2023/11/20 16:42] – minwoo
@@ Line 8: / Line 8: @@
 우선 '빛 보다 빠른 입자'를 '빛원뿔(light cone)'위에서 더 쉽게 이해할 수 있다.
-{{:물리:그림_8.2_no_comment_.png?300|}}
+{{:물리:lightcone.png?250|}}
 즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. ($c=1$로 두었다.)
@@ Line 44: / Line 44: @@
 $$ \\ $$
-첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^ep | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다.
+첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^3p | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다.
@@ Line 68: / Line 68: @@
 $$
 \begin{align}
-\mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\
+\mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta\ \sin\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\
 &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{-1} _{1} (-du) e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\
 &= \frac{1}{{(2\pi)^3}}\int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0  d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|^2 \int^{1} _{-1} du e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\
@@ Line 125: / Line 125: @@
 $$
+{{:물리:fig_a.png?250|}}
-{{:물리:그림_8.3_a_.png?250|}}
 (허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다.
@@ Line 146: / Line 145: @@
 이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다.
-{{:물리:그림_8.3_b_.png?250|}}
+{{:물리:fig_b.png?250|}}
 따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다.
@@ Line 156: / Line 155: @@
 따라서, '조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma)'에 따르면, 유의미한 적분 경로는 아래의 그림과 같다.
-{{:물리:그림_8.3_c_.png?250|}}
+{{:물리:fig_c.png?250|}}
 ('조르당의 보조 정리'는 이번 게시글 맨 아래에 보충 설명하였다.)
@@ Line 188: / Line 187: @@
 $$
+위의 적분에서, 복소 평면 상의 2사분면에서는 $e^{t\sqrt{z^2-m^2}}$의 지수가 음수인데, 이는 $z$의 크기가 커질수록 지수적으로 감소하는 경향성이 반영된 것이고
+사분면에서는 $e^{t\sqrt{z^2-m^2}}$의 지수가 양수로서 $z$의 크기가 커질수록 지수적으로 증가하는 경향성이 반영된 것이다.
+(이에 대한 수학적인 이유는 아래의 '조르당의 보조 정리'에서 함께 설명하였다.)
+$$ \\ $$
 위의 적분 경로에 대해서 피적분함수는 양의 부호를 갖는다. 따라서, $|\mathcal{A}|^2$은 $0$이 아닌 값을 갖게 된다.
@@ Line 211: / Line 218: @@
 $$
 \begin{align}
-\mathcal{A}  &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+\mathcal{A}  &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
-  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right)  \\
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right]  \\
-& = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+& = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} | \ |\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}} \
-  e^{ia|\boldsymbol{x}|-b|\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}}  \right) \\
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \right] \\
-& = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d(a+ib)\ e^{ia|\boldsymbol{x}| }\ (a+ib)
-   e^{-b|\boldsymbol{x}|}e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}  \right)
 \end{align}
 $$
-$\gamma $가 $|x|$이고 $f(\tilde{z})$는 $(a+ib)e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$에 대응된다.
+$\gamma $가 $|x|$이고 $f(\tilde{z})$는 $|\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}}$에 대응된다.
 $$\\$$
@@ Line 230: / Line 235: @@
 복소 평면 상에서 $a<0, \ b>0$인 영역과 $a>0, \ b>0$인 각각의 영역에서 $a,b$가 증가할 때 (점점 큰 반지름 $\sqrt{a^2+b^2}$을 갖는 반원 위의 경로에서)
-$(a+ib) e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$이 어떠한 경향성을 보이는지 확인하자.
+$(a+ib) e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$이 어떠한 경향성을 보이는지 확인하자.
 $$ \\ $$
@@ Line 336: / Line 341: @@
 $$ \\ $$
-==== 지수적 증가 : 문제가 되지 않는 이유 ====
+==== 지수적 증가 : 해당 적분 계산에서 중요하지 않은 이유 ====
-우리는 위에서 $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 항이 지수적으로 감소하는지, 증가하는지를 확인해보았고
+우리는 위에서 $e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} = e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 항이 지수적으로 감소하는지, 증가하는지를 확인해보았고
 $a<0,\ b>0$일 때는 지수적으로 감소하지만, $a>0, \ b>0$인 경우에는 지수적으로 증가함을 확인하였다.
 $$ \\ $$
-다만, 지수적으로 증가하는 경우에도 피적분함수는 발산하지 않는다. 조르당의 보조 정리를 언급한 부분에서 피적분함수 중 $f(z)$는 아래와 같았다.
+다만, 지수적으로 증가하는 경우에도 피적분함수는 발산하지 않는다. 조르당의 보조 정리를 언급한 부분에서의 수식은 다음과 같았다.
-$$
+\begin{align}
-f(\tilde{z})=(a+ib)e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}
+\mathcal{A} &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
-$$
+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right]  \\
+&= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|
+  e^{i(\alpha |\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|)} \ e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}| + t\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}\}} \right]
+\end{align}
+여기에서 $\alpha$는 꽤 작은 수여서, $1-\alpha$가 $1$에 매우 가까운 상수라고 하자.
-이때, $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의  지수적인 감소 또는 증가를 결정하는 것은
+이때, $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 지수적인 감소 또는 증가를 결정하는 것은
 $$
@@ Line 371: / Line 381: @@
 이 되므로, $a$의 발산으로 인해 해당 $\exp$항이 발산하지 않는다.
-따라서, $\exp[-b|\boldsymbol{x}|]$에 의해 지수적으로 감소한다.
+따라서,  $e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|\}}$의 $e^{-\{1-\alpha\} b|\boldsymbol{x}| }$에 의해 지수적으로 감소한다.
 $$ \\ $$
@@ Line 383: / Line 393: @@
 $$
-f(\tilde{z})=(a+ib)e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}\\
+f(\tilde{z})=|a+ib| e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}\\
-\propto (a+ib)\exp\left[-b|\boldsymbol{x}|+bt\sin(\theta/2)\right]
+\propto |a+ib|\exp\left[-\{1-\alpha\}b|\boldsymbol{x}|+bt\sin(\theta/2)\right]
 $$
 이때, 우리가 고려하는 적분 경로는 $|\boldsymbol{x}| > t$로서, 특수 상대성이론을 위배하는 경우이다.
-따라서, 어떠한 경우에서도 ($b>0$에서 반원의 반지름이 커짐에 따라) 피적분함수는 증가하지 않고, 지수적으로 감소하게 된다.
+또한 $\theta$는 $\pi$ 보다 작은 수이다.
+$$ \\ $$
+따라서, 어떠한 경우에서도 $b>0$에서 반원의 반지름이 커짐에 따라 피적분함수는 증가하지 않고, 지수적으로 감소하게 된다.
 그렇기에 앞선 과정에서 처럼 조르당의 보조 정리를 사용할 수 있다.
@@ Line 395: / Line 408: @@
 ====== 참고문헌 ======
 . Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014.
+. Jack Gunion and U.C. Davis, Class Notes for Quantum Field Theory: Section I.