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물리:단일_입자_양자역학 [2023/10/24 16:42] – minwoo | 물리:단일_입자_양자역학 [2023/11/22 10:22] (current) – minwoo | ||
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Line 8: | Line 8: | ||
우선 '빛 보다 빠른 입자' | 우선 '빛 보다 빠른 입자' | ||
- | {{:물리:그림_8.2_no_comment_.png?300|}} | + | {{:물리:lightcone1.png?250|}} |
- | 즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. | + | 즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. |
$$ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 >0 $$ | $$ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 >0 $$ | ||
Line 19: | Line 19: | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
이때, | 이때, | ||
- | $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $의 경로(space-like라고 부른다)를 따라가는 경로는 허용가능하지 않는 것이다. | + | $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $의 경로(space-like라고 부른다)를 따라가는 경로는 허용되지 않는 것이다. |
- | 그럼 | + | 그럼, 다음과 같은 양을 정의하고 |
$$ \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle $$ | $$ \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle $$ | ||
- | $$ | + | 해당 경로(space-like)에서 $| \mathcal{A}| ^2$이 0이 아닌지를 확인해보자. |
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===== $\mathcal{A}$ ===== | ||
+ | |||
+ | $\mathcal{A}$를 운동량(momentum) 공간에서 다음과 같이 기술할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
\mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle & | \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle & | ||
Line 34: | Line 42: | ||
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
- | |||
- | $| \mathcal{A}| ^2$이 0이 아닌지를 확인해보자. | ||
- | |||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^ep | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다. | + | |
+ | 첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^3p | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다. | ||
Line 62: | Line 68: | ||
$$ | $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
- | \mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\ | + | \mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta\ \sin\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\ |
&= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{-1} _{1} (-du) e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\ | &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{-1} _{1} (-du) e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\ | ||
&= \frac{1}{{(2\pi)^3}}\int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|^2 \int^{1} _{-1} du e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\ | &= \frac{1}{{(2\pi)^3}}\int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|^2 \int^{1} _{-1} du e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\ | ||
Line 78: | Line 84: | ||
구면 좌표계의 야코비안(Jacobian)이 $r^2 \sin\theta $임을 참고하자. | 구면 좌표계의 야코비안(Jacobian)이 $r^2 \sin\theta $임을 참고하자. | ||
- | $$ \\ $$ | ||
- | (참고로, 위의 계산에서 아직 $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $라는 조건은 대입하지 않았다.) | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
위에서 마지막 줄의 적분식을 두 항으로 분리한 뒤, 적분 범위를 아래와 같이 바꿔주면 보다 간단해진다. | 위에서 마지막 줄의 적분식을 두 항으로 분리한 뒤, 적분 범위를 아래와 같이 바꿔주면 보다 간단해진다. | ||
- | $$ | + | $$ |
\begin{align} | \begin{align} | ||
\mathcal{A} & | \mathcal{A} & | ||
Line 110: | Line 114: | ||
위의 적분을 풀이하는 수학적인 방법은 복소(complex) 적분이다. | 위의 적분을 풀이하는 수학적인 방법은 복소(complex) 적분이다. | ||
- | ===== $\mathcal{A}$ : 복소 적분 ===== | + | ===== 복소 적분 ===== |
우리가 계산하고자 하는 적분은 $|\boldsymbol{p}|$의 $-\infty$ 부터 $\infty$까지의 범위에 대한 적분이므로 | 우리가 계산하고자 하는 적분은 $|\boldsymbol{p}|$의 $-\infty$ 부터 $\infty$까지의 범위에 대한 적분이므로 | ||
Line 121: | Line 125: | ||
$$ | $$ | ||
- | + | {{:물리:fig_a.png?250|}} | |
- | {{:물리:그림_8.3_a_.png?250|}} | + | |
(허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다. | (허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다. | ||
Line 142: | Line 145: | ||
이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다. | 이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다. | ||
- | {{:물리:그림_8.3_b_.png?250|}} | + | {{:물리:fig_b.png?250|}} |
따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다. | 따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 또한, 반원의 크기가 커질수록 그 반원을 지나는 적분의 (총 적분에 대한) 기여분은 $0$에 근접한다. | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 또한, ' | + | 따라서, ' |
- | 반원을 지나는 적분의 (총 적분에 대한) 기여분은 $0$에 근접한다. | + | {{: |
(' | (' | ||
- | |||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 따라서, | + | 따라서, |
- | {{: | + | $$ |
+ | \begin{align} | ||
+ | \mathcal{A} & | ||
+ | e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} | ||
+ | & | ||
+ | e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) | ||
+ | & \qquad \qquad | ||
+ | e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{ t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) | ||
+ | & | ||
+ | e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) | ||
+ | & \qquad \qquad | ||
+ | e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{ t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) | ||
+ | |||
+ | & | ||
+ | \right) \\ | ||
+ | |||
+ | &= \frac{i}{2\pi^2|\boldsymbol{x}|} \int_m^\infty dz \ ze^{-(z-m)|\boldsymbol{x}|} \sinh\left(t\sqrt{z^2-m^2}\right) | ||
+ | \\ \\ | ||
+ | |||
+ | & \quad \quad \quad \left(\because \sinh(x) = \frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\right) | ||
+ | \end{align} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 위의 적분에서, | ||
+ | |||
+ | 1사분면에서는 $e^{t\sqrt{z^2-m^2}}$의 지수가 양수로서 $z$의 크기가 커질수록 지수적으로 증가하는 경향성이 반영된 것이다. | ||
+ | |||
+ | (이에 대한 수학적인 이유는 아래의 ' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 위의 적분 경로에 대해서 피적분함수는 양의 부호를 갖는다. 따라서, $|\mathcal{A}|^2$은 $0$이 아닌 값을 갖게 된다. | ||
+ | |||
+ | 이는 단일입자로 기술되는 양자역학은 더 이상 적절하지 않음을 의미한다. | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
Line 166: | Line 204: | ||
조르당의 보조 정리란, | 조르당의 보조 정리란, | ||
- | $ (1) a>0 $ 이며 | + | $ (1)\ \gamma |
- | $ (2) f(z) $가 $\lim_{R \to \infty} |f(Re^{i\theta})|=0$을 만족하는(well-behaved) 함수일 때, | + | $ (2)\ f(\tilde{z}) $가 $\lim_{R \to \infty} |f(Re^{i\theta})|=0$을 만족하는(well-behaved) 함수일 때, |
' | ' | ||
- | $$ \int_{-\infty}^{\infty} | + | $$ \int_{-\infty}^{\infty} |
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 앞서 설명한 경우에서는, | + | 앞서 설명한 경우에서는, |
$$ | $$ | ||
- | \mathcal{A} | + | \begin{align} |
- | e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right) | + | \mathcal{A} |
+ | e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right] \\ | ||
+ | |||
+ | & = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} | \ |\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}} \ | ||
+ | e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \right] \\ | ||
+ | |||
+ | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
- | $a$가 $|x|$이고 $f(z)$는 $|\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}$에 대응된다. | + | $\gamma |
- | $|x|$는 공간(space)에 대해 정의되는 값으로서 $0$보다 크고, 함수 $|\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}$의 값을 $|p|=z=Re^{i\theta}$로 두고 | + | $$\\$$ |
- | z의 허수부의 값도 | + | $R$의 증가에 의해서 감소하는 경향을 살펴보기 위해 |
+ | 복소 평면 상에서 $a<0, \ b>0$인 영역과 $a>0, \ b>0$인 각각의 영역에서 $a,b$가 증가할 때 (점점 큰 반지름 $\sqrt{a^2+b^2}$을 갖는 반원 위의 경로에서) | ||
+ | $(a+ib) e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$이 어떠한 경향성을 보이는지 확인하자. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | ==== $(i)\ \ a<0,\ b>0, \ \sqrt{a^2+b^2} \gg 1$ ==== | ||
+ | |||
+ | 오일러 공식을 통한 극좌표 형식으로, | ||
+ | |||
+ | $$((a^2-b^2+m^2) +i(2ab))=Ae^{i\theta}$$ | ||
+ | |||
+ | 이때, $A=\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}$이며, | ||
+ | |||
+ | $$ \theta = \begin{cases} | ||
+ | \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) | ||
+ | \pi + \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) | ||
+ | -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) | ||
+ | \frac{\pi}{2} & \text{for } (a^2-b^2+m^2)=0, | ||
+ | -\frac{\pi}{2} & \text{for } (a^2-b^2+m^2)=0, | ||
+ | \end{cases} | ||
$$ | $$ | ||
- | \exp\left[{-it\sqrt{{\text{\{i(Im[z])}\}}^2 + m^2}}\right]=\exp\left[{-it\sqrt{-\text{Im}[R^2e^{i(2\theta)}]+ m^2}}\right]\\ | ||
- | =\exp\left[{-it\sqrt{-R^2\sin2\theta | + | 이때, 우선 $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$만을 극좌표 형식으로 바꿔서 나타내면 아래와 같다. |
- | =\exp\left[{-t\sqrt{R^2\sin2\theta - m^2}}\right] \\ | ||
- | (\because | + | $$ |
+ | \exp\left[{-it\sqrt{Ae^{i\theta}}}\right] | ||
+ | =\exp\left[{-it\ | ||
+ | | ||
+ | | ||
$$ | $$ | ||
- | 이므로, $R\to\infty$의 극한에서 해당 값은 | + | 따라서, ($t>0$이므로) 결국 |
+ | $(i)$의 경우에 대해서, $a<0, \ b> | ||
+ | $ab< | ||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===$(1) \ a \gg b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ === | ||
+ | |||
+ | 이 경우, 위에서 살펴본 위상각($\theta$)의 정의를 참고하면 | ||
+ | |||
+ | $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 양수임을 알 수 있다. | ||
+ | 또한, $a \gg b$이며 $\sqrt{a^2+b^2} \to \infty$의 극한을 고려한다면, | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
+ | 그 경우에 $\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/ | ||
+ | (해당 경우에서 $A=\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}$가 증가하므로) | ||
+ | |||
+ | 지수적으로 감소하는 항이다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===$(2) \ a \ll b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ === | ||
+ | |||
+ | 이 경우는 $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 음수의 값을 갖는다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 이때, $\sqrt{a^2+b^2}\to \infty$의 극한에서 | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 따라서, 위상각 $\theta$는 (위에서 살펴본 식에 의하면, $\{2ab/ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 따라서, $\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/ | ||
+ | 지수적으로 감소하는 항이다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | ==== $(ii)\ \ a>0,\ b>0, \ \sqrt{a^2+b^2} \gg 1$ ==== | ||
+ | |||
+ | 이번에는 $a$와 $b$가 둘 다 양수인 경우로서 $ab> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | ===$(1) \ a \ll b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ === | ||
+ | |||
+ | 이 경우는 $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 음수의 값을 갖는다. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 마찬가지로 확인해보자면, | ||
+ | |||
+ | 따라서, $\theta = \pi -\epsilon$이며, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 그 경우에 $\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/ | ||
+ | 지수적으로 증가하는 항이다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===$(2) \ a \gg b, \sqrt{a^2+b^2} \to \infty$ === | ||
+ | |||
+ | 이 경우는 $\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) $의 $a^2-b^2+m^2$이 양수의 값을 갖는다. | ||
+ | |||
+ | 확인해보자면, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 그 경우에 $\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $\exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ==== 지수적 증가 : 해당 적분 계산에서 중요하지 않은 이유 ==== | ||
+ | |||
+ | 우리는 위에서 $e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} = e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 항이 지수적으로 감소하는지, | ||
+ | |||
+ | $a<0,\ b>0$일 때는 지수적으로 감소하지만, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 다만, 지수적으로 증가하는 경우에도 피적분함수는 발산하지 않는다. 조르당의 보조 정리를 언급한 부분에서의 수식은 다음과 같았다. | ||
+ | |||
+ | \begin{align} | ||
+ | \mathcal{A} & | ||
+ | e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right] | ||
+ | &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| | ||
+ | e^{i(\alpha |\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|)} \ e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}| + t\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}\}} \right] | ||
+ | \end{align} | ||
+ | |||
+ | 여기에서 $\alpha$는 꽤 작은 수여서, $1-\alpha$가 $1$에 매우 가까운 상수라고 하자. | ||
+ | |||
+ | 이때, $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 지수적인 감소 또는 증가를 결정하는 것은 | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \exp\left[t\sqrt{A}\sin(\theta/ | ||
+ | =\exp\left[t\sqrt{\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}}\sin(\theta/ | ||
+ | $$ | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 여기에서, | ||
+ | |||
+ | $\exp\left[t\sqrt{\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}}\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $a\gg b, \sqrt{a^2+b^2}\to \infty$인 경우는 $2ab/ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \sin(\theta/ | ||
+ | \approx \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{2ab}{a^2-b^2+m^2}\right) \\ | ||
+ | \approx \frac{ab}{a^2-b^2+m^2} | ||
+ | $$ | ||
+ | 이 되므로, $a$의 발산으로 인해 해당 $\exp$항이 발산하지 않는다. | ||
+ | |||
+ | 따라서, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | 한편, $ab> | ||
+ | |||
+ | 또한, $b \gg a$인 경우이므로 $\exp\left[t\sqrt{\sqrt{(a^2-b^2+m^2)^2 + 4a^2b^2}}\sin(\theta/ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 다만, 전체 피적분함수를 고려하면 다음과 같다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | f(\tilde{z})=|a+ib| e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}\\ | ||
+ | \propto |a+ib|\exp\left[-\{1-\alpha\}b|\boldsymbol{x}|+bt\sin(\theta/ | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 이때, 우리가 고려하는 적분 경로는 $|\boldsymbol{x}| > t$로서, 특수 상대성이론을 위배하는 경우이다. | ||
+ | |||
+ | 또한 $\theta$는 $\pi$ 보다 작은 수이다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 따라서, 어떠한 경우에서도 $b> | ||
+ | |||
+ | 그렇기에 앞선 과정에서 처럼 조르당의 보조 정리를 사용할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | |||
====== 참고문헌 ====== | ====== 참고문헌 ====== | ||
+ | |||
1. Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014. | 1. Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014. | ||
+ | |||
+ | 2. Jack Gunion and U.C. Davis, Class Notes for Quantum Field Theory: Section I. | ||
+ |