단일 입자 양자역학을 통해서 '빛 보다 더 빠르게 움직이는 입자의 진폭(amplitude)'를 구해보고자 한다.

상대성이론에 따라서 빛 보다 빠르게 움직일 수 있는 것은 없다. 그렇다면 그 진폭은 $0$이어야 할 것인데, 실제로 그러한지 확인해고자 한다.

$$ \\ $$ 우선 '빛 보다 빠른 입자'를 '빛원뿔(light cone)'위에서 더 쉽게 이해할 수 있다.

즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. ($c=1$로 두었다.)

$$ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 >0 $$

광자(photon)의 경우는 $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 =0 $ 으로서, 원뿔면 위에 놓이는 경로를 따라 간다.

$$ \\ $$ 이때, $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $의 경로(space-like라고 부른다)를 따라가는 경로는 허용되지 않는 것이다.

그럼, 다음과 같은 양을 정의하고

$$ \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle $$

해당 경로(space-like)에서 $| \mathcal{A}| ^2$이 0이 아닌지를 확인해보자.

$$ \\ $$

$\mathcal{A}$를 운동량(momentum) 공간에서 다음과 같이 기술할 수 있다.

$$ \begin{align} \mathcal{A}=\langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}| \boldsymbol{x}=0\rangle &= \int d^3p \langle \boldsymbol{x} |e^{-i\hat{H}t}|\boldsymbol{p}\rangle \langle \boldsymbol{p}|\boldsymbol{x}=0 \rangle \\ &= \int d^3p \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{p} \rangle e^{-iE_pt} \frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{-i\boldsymbol{p}\cdot 0} \\ &= \int d^3p \frac{1}{(2\pi)^3}e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t}. \end{align} $$ $$
$$ 첫 번째 줄에서는 완전 집합(complete set)의 성질인 $1=\int d^ep | \boldsymbol{p} \rangle \langle \boldsymbol{p}| $을 이용하였다.

두 번째 줄로 넘어갈 때, $e^{-i\hat{H}t}$를 $|\boldsymbol{p}\rangle$에 걸어줌으로써 고유값을 $e^{-iE_pt}$로 얻었다. 또한, 다음의 식을 이용하였다.

$$ \langle \boldsymbol{x} | \boldsymbol{p}\rangle =\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}} $$ (규격화 상수(normalization constant)가 정확한 값일 필요는 없다. $\mathcal{A}$가 0인지, 그렇지 않은지만 파악하면 되기 때문이다.)

이제 해야할 것은, 다음의 적분 계산을 $ |x|^2 =t^2-(x^1)^2-(x^2)^2-(x^3)^2 <0 $ (space-like) 에 해당하는 간격(interval)에 대해서 풀이하는 것이다.

$$ \begin{align} \mathcal{A}=\int d^3p \frac{1}{(2\pi)^3}e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t}. \end{align} $$ 이러한 적분식을 구면 좌표계 (spherical polars)로 다음과 같이 변환하자. $$ \begin{align} \mathcal{A} &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{\pi} _{0} d\theta e^{i\boldsymbol{p}\cdot \boldsymbol{x}}e^{-iE_p t} \\ &= \int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 \frac{d|\boldsymbol{p} |}{(2\pi)^3}|\boldsymbol{p}|^2 \int^{-1} _{1} (-du) e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\ &= \frac{1}{{(2\pi)^3}}\int _0 ^{2\pi} d\phi \int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|^2 \int^{1} _{-1} du e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}e^{-iE_p t} \\ &= \frac{1}{(2\pi)^3}(2\pi)\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|^2 \left( \frac{1}{i(|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|)} \right)\left[e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|u}\right]_{-1}^{1}\ e^{-iE_p t} \\ &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| \left[e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|}-e^{-i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|}\right] \ e^{-iE_p t} \\ \end{align} $$ 위의 식을 풀이할 때, $\cos\theta \equiv u \to -du=\sin\theta d\theta$를 이용하였다.

구면 좌표계의 야코비안(Jacobian)이 $r^2 \sin\theta $임을 참고하자.

$$ \\ $$ 위에서 마지막 줄의 적분식을 두 항으로 분리한 뒤, 적분 범위를 아래와 같이 바꿔주면 보다 간단해진다.

\begin{align} \mathcal{A} &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| \left[e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|}-e^{-i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|}\right] \ e^{-iE_p t} \\ &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-iE_p t} - \int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{-i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-iE_p t}\right) \\ &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-iE_p t} - \int^{-\infty }_0 (d(-|\boldsymbol{p} |)\ (-|\boldsymbol{p}|) e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-iE_p t}\right) \\ &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _0 d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-iE_p t} + \int^{0}_{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-iE_p t}\right) \\ &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right) \\ \end{align}

두 번째 줄에서 세 번째 줄로 넘어갈 때, $|p|$에 대한 적분을 $-|p|$에 대한 것으로 바꿔주었다.

또한, $E_p = \sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}$을 대입하였다.

$$\\$$ 위의 적분을 풀이하는 수학적인 방법은 복소(complex) 적분이다.

우리가 계산하고자 하는 적분은 $|\boldsymbol{p}|$의 $-\infty$ 부터 $\infty$까지의 범위에 대한 적분이므로

복소평면에서 아래와 같은 경로를 따라서 다음의 적분을 계산해야 한다.

$$ \mathcal{A} = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right) \\ $$

(허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다.

$$ \\ $$ 이때, '코시의 정리(Cauchy's theorem)'를 이용한다면 적분을 보다 원활하게 풀이할 수 있다.

'코시의 정리'란, 임의의 복소수 $z$에 대한 함수 $f(z)$가 경로 $C$와 그 내부에서 해석적(anaylytic)일 때, 다음의 식을 만족한다는 것이다.

$$ \oint_C dz\ f(z) = 0. $$

즉, 경로 $C$ 내부에서 적분되는 함수 $f(z)$가 해석적이지 않은 특이점이 포함되지 않는다면

해당 적분은 시작점과 종점에만 의존한다.

$$ \\ $$ 이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다.

따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다.

$$ \\ $$ 또한, '조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma)'에 따르면, 반원의 크기가 커질수록

반원을 지나는 적분의 (총 적분에 대한) 기여분은 $0$에 근접한다.

('조르당의 보조 정리'는 이번 게시글 맨 아래에 보충 설명하였다.)

$$ \\ $$ 따라서, 유의미한 적분 경로는 아래의 그림과 같다.

따라서, $\mathcal{A}$에 대한 적분 식을 다음과 같이 바꿀 수 있다.

\begin{align} \mathcal{A} &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right) \\ &= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|} \bigg[\left(\int^m_{\infty } d(iz)\ iz e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) \\ & \qquad \qquad \ \ + \bigg[\left(\int^\infty_{m} d(iz)\ iz e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) \bigg]\\ &= \frac{ i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|} \bigg[\left(\int^m_{\infty } dz\ z e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) \\ & \qquad \qquad \ \ + \bigg[\left(\int^\infty_{m} dz\ z e^{-z|\boldsymbol{x}|} \ e^{-t\sqrt{z^2 - m^2}} \right) \bigg] \end{align}

$$ \\ $$

조르당의 보조 정리란,

$ (1) a>0 $ 이며

$ (2) f(\tilde{z}) $가 $\lim_{R \to \infty} |f(Re^{i\theta})|=0$을 만족하는(well-behaved) 함수일 때,

'무한한 크기를 가지며 양의 허수축에 정의되는 반원'을 따라서 다음의 적분을 계산한 결과는 $0$이라는 것이다.

$$ \int_{-\infty}^{\infty} d\tilde{z}\ f(\tilde{z})e^{ia\tilde{z}}$$

$$ \\ $$ 앞서 설명한 경우에서는, 아래의 적분에서

$$ \mathcal{A} = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left(\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}| e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} \right) \\ $$

$a$가 $|x|$이고 $f(\tilde{z})$는 $|\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}$에 대응된다.

$|x|$는 공간(space)에 대해 정의되는 값으로서 $0$보다 크고, 함수 $|\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}$의 값을 $|p|=\tilde{z}=a+ib$로 두고 $a,b$의 값을 동시에 증가시켜서 보면

$z$의 허수부의 값도 증가할 것이다.

따라서, $R$의 증가에 의해서 감소하는 경향을 살펴보기 위해

복소 평면 상에서 $a<0, \ b>0$인 영역에서 $R\equiv \sqrt{a^2+b^2}$ 이 증가하는 경우를 본다면

$$ \tilde{z}\exp\left(-it\sqrt{ \tilde{z}^2 + m^2 }\right)=\tilde{z}\exp\left(-it\sqrt{(a+ib)^2 + m^2 }\right)\\ =z\exp\left[{-it\sqrt{i(2ab)+(a^2-b^2) +m^2}}\right] \\ =z\exp\left[{-t\sqrt{ -(2ab) +i\{(a^2-b^2) +m^2\}}}\right] \\ (\because i=\sqrt{-1}) $$

이므로 $R\to\infty$의 극한에서 해당 값은 $0$이다. ($R$의 증가에 따라, $z$의 증가에 비해 $\exp$함수의 감소가 더욱 빠르다.

이는, 해당 영역에서는 루트안의 $-2ab$의 부호가 양수이기 때문이다.)

$$ \\ $$ 반면에 $a>0, \ b>0$인 영역에서 $R\equiv \sqrt{a^2+b^2}$ 이 증가하는 경우를 본다면

$$ \tilde{z}\exp\left(-it\sqrt{ \tilde{z}^2 + m^2 }\right)=\tilde{z}\exp\left(-it\sqrt{(a+ib)^2 + m^2 }\right)\\ =z\exp\left[{-it\sqrt{i(2ab)+(a^2-b^2) +m^2}}\right] \\ =z\exp\left[{t\sqrt{-i(2ab)-\{(a^2-b^2) +m^2}\}}\right]\\ (\because -1=i^2) $$

으로서, 허수부에 해당하는 $b$의 크기가 커지는 경우에는 해당 항이 지수적으로 발산한다.

이는 조르당의 보조 정리를 사용하는 것에 문제를 일으키는 부분이다.

$$ \\ $$ 그럼에도 불구하고, 우리가 관심을 갖는 경로는 $|\boldsymbol{x}|>t$인 경우이기 때문에

아래의 식을 통해서, 결국에 지수적으로 감소함을 알 수 있다. $$ e^{-i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|}e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2+m^2}} $$

즉, $i|\boldsymbol{p}|$의 각각의 계수인 $|x|$와 $t$ 중에서 $|x|$가 더 크다.

$$ \\ $$

1. Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014.