물리:단일_입자_양자역학

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물리:단일_입자_양자역학 [2023/11/11 11:08] – minwoo물리:단일_입자_양자역학 [2023/11/22 10:22] (current) – minwoo
Line 8: Line 8:
 우선 '빛 보다 빠른 입자'를 '빛원뿔(light cone)'위에서 더 쉽게 이해할 수 있다. 우선 '빛 보다 빠른 입자'를 '빛원뿔(light cone)'위에서 더 쉽게 이해할 수 있다.
  
-{{:물리:그림_8.2_no_comment_.png?300|}}+{{:물리:lightcone1.png?250|}}
  
 즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. ($c=1$로 두었다.) 즉, 특수상대성 이론에 위배되지 않는 (허용되는) 경로(time-like라고 부른다)는 원뿔의 안쪽에 해당하며 다음을 만족하는 것이다. ($c=1$로 두었다.)
Line 125: Line 125:
 $$ $$
  
- +{{:물리:fig_a.png?250|}}
-{{:물리:그림_8.3_a_.png?250|}}+
  
 (허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다. (허수축이 $\pm im$에서 잘린(cut) 이유는, 시간 연산자(time operator)의 고유값에 해당하는 $e^{-iE_pt}$의 지수는 허수이기 때문이다.
Line 146: Line 145:
 이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다. 이때, 다음의 그림의 닫힌 곡선 안에서는 특이점이 존재하지 않는다.
  
-{{:물리:그림_8.3_b_.png?250|}}+{{:물리:fig_b.png?250|}}
  
 따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다. 따라서 우리의 적분을 반원 위쪽을 지나는 경로에 대한 적분으로 바꾸는 것이 가능하다.
Line 156: Line 155:
 따라서, '조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma)'에 따르면, 유의미한 적분 경로는 아래의 그림과 같다. 따라서, '조르당의 보조 정리(Jordan’s lemma)'에 따르면, 유의미한 적분 경로는 아래의 그림과 같다.
  
-{{:물리:그림_8.3_c_.png?250|}}+{{:물리:fig_c.png?250|}}
  
 ('조르당의 보조 정리'는 이번 게시글 맨 아래에 보충 설명하였다.) ('조르당의 보조 정리'는 이번 게시글 맨 아래에 보충 설명하였다.)
Line 224: Line 223:
 & = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} | \ |\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}} \  & = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} | \ |\boldsymbol{p}| e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}} \ 
   e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \right] \\   e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \right] \\
-   + 
-\bigg( & = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|  +
-  e^{ia|\boldsymbol{x}|-b|\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+2iab) + m^2}}  \right] \\ +
- +
-& = \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d(a+ib)\ e^{ia|\boldsymbol{x}| }\ (a+ib) +
-   e^{-b|\boldsymbol{x}|}e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}  \right] \bigg)+
 \end{align} \end{align}
 $$ $$
Line 241: Line 235:
 복소 평면 상에서 $a<0, \ b>0$인 영역과 $a>0, \ b>0$인 각각의 영역에서 $a,b$가 증가할 때 (점점 큰 반지름 $\sqrt{a^2+b^2}$을 갖는 반원 위의 경로에서) 복소 평면 상에서 $a<0, \ b>0$인 영역과 $a>0, \ b>0$인 각각의 영역에서 $a,b$가 증가할 때 (점점 큰 반지름 $\sqrt{a^2+b^2}$을 갖는 반원 위의 경로에서)
  
-$(a+ib) e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$이 어떠한 경향성을 보이는지 확인하자.+$(a+ib) e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$이 어떠한 경향성을 보이는지 확인하자.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 349: Line 343:
 ==== 지수적 증가 : 해당 적분 계산에서 중요하지 않은 이유 ==== ==== 지수적 증가 : 해당 적분 계산에서 중요하지 않은 이유 ====
  
-우리는 위에서 $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 항이 지수적으로 감소하는지, 증가하는지를 확인해보았고+우리는 위에서 $e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}} = e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 항이 지수적으로 감소하는지, 증가하는지를 확인해보았고
  
 $a<0,\ b>0$일 때는 지수적으로 감소하지만, $a>0, \ b>0$인 경우에는 지수적으로 증가함을 확인하였다. $a<0,\ b>0$일 때는 지수적으로 감소하지만, $a>0, \ b>0$인 경우에는 지수적으로 증가함을 확인하였다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-다만, 지수적으로 증가하는 경우에도 피적분함수는 발산하지 않는다. 조르당의 보조 정리를 언급한 부분에서 피적분함수 중 $f(z)$는 아래와 같았다.+다만, 지수적으로 증가하는 경우에도 피적분함수는 발산하지 않는다. 조르당의 보조 정리를 언급한 부분에서의 수식은 다음과 같았다.
  
-$$ +\begin{align} 
-f(\tilde{z})=(a+ib)e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}} +\mathcal{A} &=  \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|  
-$$+  e^{i|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} \ e^{-it\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}}  \right]  \\ 
 +&= \frac{-i}{(2\pi)^2|\boldsymbol{x}|}\left[\int^\infty _{-\infty } d|\boldsymbol{p} |\ |\boldsymbol{p}|  
 +  e^{i(\alpha |\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|)} \ e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}| + t\sqrt{|\boldsymbol{p}|^2 + m^2}\}} \right]  
 +\end{align} 
 + 
 +여기에서 $\alpha$는 꽤 작은 수여서, $1-\alpha$가 $1$에 매우 가까운 상수라고 하자.
  
-이때, $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의  지수적인 감소 또는 증가를 결정하는 것은 +이때, $e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}$의 지수적인 감소 또는 증가를 결정하는 것은 
  
 $$ $$
Line 382: Line 381:
 이 되므로, $a$의 발산으로 인해 해당 $\exp$항이 발산하지 않는다. 이 되므로, $a$의 발산으로 인해 해당 $\exp$항이 발산하지 않는다.
  
-따라서, $\exp[-b|\boldsymbol{x}|]$에 의해 지수적으로 감소한다.+따라서,  $e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|\}}$의 $e^{-\{1-\alpha\} b|\boldsymbol{x}| }$에 의해 지수적으로 감소한다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
Line 394: Line 393:
  
 $$ $$
-f(\tilde{z})=(a+ib)e^{-b|\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}\\ +f(\tilde{z})=|a+ib| e^{-i\{(\alpha -1)|\boldsymbol{p}||\boldsymbol{x}|} e^{-it\sqrt{(a^2+b^2+m^2)+i(2ab)}}\\ 
-\propto (a+ib)\exp\left[-b|\boldsymbol{x}|+bt\sin(\theta/2)\right]+\propto |a+ib|\exp\left[-\{1-\alpha\}b|\boldsymbol{x}|+bt\sin(\theta/2)\right]
 $$ $$
  
 이때, 우리가 고려하는 적분 경로는 $|\boldsymbol{x}| > t$로서, 특수 상대성이론을 위배하는 경우이다. 이때, 우리가 고려하는 적분 경로는 $|\boldsymbol{x}| > t$로서, 특수 상대성이론을 위배하는 경우이다.
  
-따라서, 어떠한 경우에서도 ($b>0$에서 반원의 반지름이 커짐에 따라) 피적분함수는 증가하지 않고, 지수적으로 감소하게 된다. +또한 $\theta$는 $\pi$ 보다 작은 수이다. 
 + 
 +$$ \\ $$ 
 +따라서, 어떠한 경우에서도 $b>0$에서 반원의 반지름이 커짐에 따라 피적분함수는 증가하지 않고, 지수적으로 감소하게 된다. 
  
 그렇기에 앞선 과정에서 처럼 조르당의 보조 정리를 사용할 수 있다. 그렇기에 앞선 과정에서 처럼 조르당의 보조 정리를 사용할 수 있다.
Line 408: Line 410:
  
 1. Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014. 1. Tom Lancaster and Stephen J. Blundell, Quantum Field Theory for the Gifted Amateur, 2014.
 +
 +2. Jack Gunion and U.C. Davis, Class Notes for Quantum Field Theory: Section I.
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  • by minwoo