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--- 물리:러더퍼드_산란 [2017/04/15 18:56] – [간단한 계산] minjae
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 $\alpha$입자가 질량 $m_{\alpha}$을 가지고 초기 속도 $\vec{v}_{0}$로 질량 $m_{t}$인 목표 입자와 충돌하는 상황을 생각하자. 그리고 여기서 $\alpha$입자의 속력은 $v_{0}\ll0.1c$로 빛의 속력보다 매우 작아 상대론적 효과를 무시하자.
+운동량 보존과 에너지 보존으로 $\boldsymbol{v_0}$와 $v_0^2$를 계산할 수 있다.
+$$m_\alpha\boldsymbol{v_0} = m_\alpha\boldsymbol{v_\alpha} + m_t\boldsymbol{v_t} ~\rightarrow~ \boldsymbol{v_0} = \boldsymbol{v_\alpha} + \frac{m_t}{m_\alpha}\boldsymbol{v_t}$$
+$$\frac{1}{2}m_\alpha v_0^2 = \frac{1}{2}m_\alpha v_\alpha^2 + \frac{1}{2}m_tv_t^2 ~\rightarrow~ v_0^2 = v_\alpha^2 + \frac{m_t}{m_\alpha}v_t^2$$
+계산에서 $(\boldsymbol{v_i})^2 = \boldsymbol{v_i}\cdot\boldsymbol{v_i}=v_i^2$이고 $i=0,~\alpha$, 그리고 $t$이다. 첫 번째 결과를 두 번째 결과에 대입하면
+\begin{equation}\notag
+\begin{split}
+v_0^2 &= \left(v_\alpha^2 + \left(\frac{m_t}{m_\alpha}\right)^2v_t^2 + 2\frac{m_t}{m_\alpha}\boldsymbol{v_\alpha}\cdot\boldsymbol{v_t}\right)\notag \\
+&= v_\alpha^2 + \frac{m_t}{m_\alpha}v_t^2 \notag
+\end{split}
+\end{equation}
+을 얻게 되고
+$$v_t^2\left(1-\frac{m_t}{m_\alpha}\right) = \boldsymbol{v_\alpha}\cdot\boldsymbol{v_t}$$
+임을 알 수 있다. $m_t\ll m_\alpha$인 경우 좌변이 양수이므로 우변으로부터 $\alpha$입자와 표적입자가 입사방향으로 운동한다는 것을 알수 있고, $m_t\gg m_\alpha$이면 좌변이 음수이므로 과녁 입자가 입사 방향, $\alpha$ 입자가 입사 방향의 반대 방향으로 운동하게 된다는 것을 알 수 있다. \\
+이제 정지해 있는 전자에 $\alpha$입자가 입사되어 충돌하는 상황을 생각해자. 그렇다면 $m_t=m_e$가 될 것이다.
+각 입자의 질량은
+$$m_e \approx 0.5~\text{MeV/c}^2,$$
+$$m_\alpha \approx 4 \times 10^3~\text{MeV/c}^2$$
+그러므로 두 입자의 질량비는
+$$\frac{m_t}{m_\alpha} \approx 10^{-4}$$
+이 된다. $\boldsymbol{v_\alpha}\cdot\boldsymbol{v_t}$이 양수가 되어 $\alpha$ 입자의 운동량 변화가 상당히 작을 것이다. 결론적으로 톰슨의 원자 모형으로 $\alpha$ 입자의 산란 실험을 하게 되면 $\alpha$ 입자의 산란 후 운동 방향이 산란 전 운동 방향과 거의 같아야 함을 알 수 있다. 하지만 실제 실험 결과 때때로 $\alpha$ 입자가 큰 각도로 산란되는 것이 관찰되었다. 이 문제를 해결하기 위해서 러더퍼드는 톰슨의 원자 모형이 아닌 다른 원자 모형을 생각했다. 그의 생각은 아래와 같았다.
+=====러더퍼드의 원자 모형=====
+  * 원자의 중앙에는 양으로 대전된 입자가 있을 것이고 이 입자의 질량은 원자 질량의 대부분을 차지할 것이다.
+  * 전자는 위에 기술된 입자의 주변부를 원운동 할 것이다.
+이러한 원자 모형을 생각한다면 $\alpha$ 입자의 산란 각도가 큰 현상은 꽤 자연스러운 결과가 된다. 예를 들어 과녁 입자가 금이라고 한다면
+$$m_t = m_{Au} \approx 2\times10^5\text{MeV/c}^2,$$
+이 되어
+$$\frac{m_t}{m_\alpha} \approx 50.$$
+이 된다. 그러므로 위 계산의 과정으로부터 $\alpha$입자는 큰 각도로 산란할 수 있음을 예상할 수 있다.