정리

$N$ 개의 $q_i$ 좌표계가 주어졌을 때, $(p_i,q_i)$ 위상공간에서 $2N$ 차원의 닫힌 폐곡면의 체적(volume)은 보존된다. 즉, 이 폐곡면의 체적이 위상공간에서 시간에 무관함을 나타내는 정리이다.

증명의 간결함을 위해서 $N=1$이라고 하자. 이 경우 위상 공간의 차원은 $2N$이다. 이 공간 위에서 한 점 $(p,q)$의 속도를 $\vec v=(\dot p, \dot q)$이라 하자. 초기 시간에서 임의의 폐곡선을 $C_0$라 하자. 이 폐곡선 위의 점들이 $dt$만큼의 시간이 지났을 때의 이루는 새로운 폐곡선을 $C_{dt}$라고 하자(그림 참조).

$C_0$에서 $C_{dt}$로 이동할 때 곡선 이 가지는 넓이의 변화를 계산해보자. 점 $A$와 $B$가 $C_0$에서 $C_{dt}$로 이동하는 동안 쓸고 지나간 면적은 $dl|\vec{v}|dt$이다.