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물리:리우빌_정리 [2018/11/29 15:32] – minjae | 물리:리우빌_정리 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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{{물리: | {{물리: | ||
- | $\hat v$를 $C_0$에 수직하며 | + | $\hat v$를 $C_0$에 수직하며 |
$$dA = \int_C(\hat n\cdot \vec vdt)dl$$ | $$dA = \int_C(\hat n\cdot \vec vdt)dl$$ | ||
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&= \int_A\nabla\cdot\vec vdA \\ | &= \int_A\nabla\cdot\vec vdA \\ | ||
&= \int_A\nabla\cdot(\dot{q}, | &= \int_A\nabla\cdot(\dot{q}, | ||
- | &= \int_A\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial\dot{p}}{\partial p}\right)dA. | + | &= \int_A\left(\frac{\partial\dot{q}}{\partial q}+\frac{\partial\dot{p}}{\partial p}\right)dA |
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial}{\partial q}\left(\frac{\partial H}{\partial p}\right)+\frac{\partial q}{\partial p}\left(-\frac{\partial H}{\partial q}\right)\right)dA \\ | ||
+ | &= \int_A\left(\frac{\partial^2H}{\partial q\partial p}-\frac{\partial^2H}{\partial p\partial q}\right)dA \\ | ||
+ | &= 0. | ||
\end{align*} | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 그러므로 위상 공간에서 폐곡선의 면적은 시간에 대해 변하지 않는다. | ||
+ | |||
+ | 때때로 리우빌 정리는 위상 공간에서 밀도의 변화가 없음을 의미한다고 간단히 언급된다. 하지만 이러한 설명을 이해할 때 위상 공간 위의 고정된 한 점에서 밀도의 변화가 없다고 오해하지 않도록 주의하라. 위의 증명 과정처럼 한 점 주위의 밀도라는 것은 실제로 이 점을 따라가면서 관찰했을 때 바로 그 점 주위의 밀도를 의미하는 것이다. |