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--- 물리:리우빌_정리 [2018/11/29 15:43] – [증명] minjae
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-$\hat v$를 $C_0$에 수직하며 $C_0$에서 $C_{dt}$를 가리키는 방향의 단위 벡터라고 했을 때 $dh=\hat v\cdot\vec vdt$이다. 그러므로 그림에서 어두운 면의 넓이는 $dldh = dl(\hat n\cdot\vec vdt)$이다. 전체 넓이의 변화량은 조그만 평행사변형의 넓이의 합이기 떄문에 다음과 같이 구할 수 있다.
+$\hat v$를 $C_0$에 수직하며 폐곡선 바깥을 가리키는 방향의 단위 벡터라고 했을 때 $dh=\hat v\cdot\vec vdt$이다. 그러므로 그림에서 어두운 면의 넓이는 $dldh = dl(\hat n\cdot\vec vdt)$이다. 단위 벡터의 방향이 폐곡선 바깥을 향하기 때문에 아래의 위의 그림에서 점 $A$와 $B$가 속한 평행사변형의 넓이가 양의 값을 가진다. 반면 어떤 평행사변형은 음의 변화량을 가지는 것을 알 수 있다. 즉, 폐곡선 위의 점들이 쓸고 지나간 면적의 넓이를 나타낸 평행사변형의 넓이는 사실 $C_0$의 넓이에서 늘어난 부분과 줄어든 부분을 나타낸다는 것을 주목하자. 전체 넓이의 변화량은 조그만 평행사변형의 넓이의 합이기 떄문에 다음과 같이 구할 수 있다.
 $$dA = \int_C(\hat n\cdot \vec vdt)dl$$
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 &= 0.
 \end{align*}
+그러므로 위상 공간에서 폐곡선의 면적은 시간에 대해 변하지 않는다.
+때때로 리우빌 정리는 위상 공간에서 밀도의 변화가 없음을 의미한다고 간단히 언급된다. 하지만 이러한 설명을 이해할 때 위상 공간 위의 고정된 한 점에서 밀도의 변화가 없다고 오해하지 않도록 주의하라. 위의 증명 과정처럼 한 점 주위의 밀도라는 것은 실제로 이 점을 따라가면서 관찰했을 때 바로 그 점 주위의 밀도를 의미하는 것이다.