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| 물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/16 12:15] – [안장점 근사] admin | 물리:무작위장_이징_모형 [2021/05/25 14:06] – [참고문헌] admin | ||
|---|---|---|---|
| Line 6: | Line 6: | ||
| ======온곳으로 연결된 경우====== | ======온곳으로 연결된 경우====== | ||
| - | =====자유 에너지===== | + | =====해밀토니안===== |
| 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[: | 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[: | ||
| $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ | $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ | ||
| Line 17: | Line 17: | ||
| =====복제 방법===== | =====복제 방법===== | ||
| - | $\left< \ln Z \right> | + | $\left< \ln Z \right> |
| $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ | $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ | ||
| $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 | $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 | ||
| Line 52: | Line 52: | ||
| 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때 | 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때 | ||
| $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ | $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ | ||
| - | 로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(s^\alpha, | + | 로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)$로 정의하여 |
| - | $Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자. | + | $Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자. |
| 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다: | 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다: | ||
| Line 67: | Line 67: | ||
| 0 &=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\ | 0 &=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\ | ||
| &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\ | &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\ | ||
| - | &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(s^\alpha, | + | &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}{\sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}. |
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| 따라서 | 따라서 | ||
| Line 74: | Line 74: | ||
| $$\left< Z^n \right> | $$\left< Z^n \right> | ||
| 이며, 여기에서 | 이며, 여기에서 | ||
| - | $$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ | + | $$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 |
| - | -1 + \left< ( s - m )^2 \right> | + | 1 - \left< ( s^\alpha |
| - | 이다. | + | 인데 $N \to \infty$에서 두 번째 항은 0으로 접근하므로 $\ln c$는 무시해도 좋다. |
| + | |||
| =====$Z_1$의 계산===== | =====$Z_1$의 계산===== | ||
| $\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 | $\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 | ||
| - | $$e^{A(s, | + | $$e^{A(\{s^\alpha \},m)} = \exp \left[ 2\beta J m \sum_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2}\beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ |
| 지수함수 안의 제곱항을 [[: | 지수함수 안의 제곱항을 [[: | ||
| $$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$ | $$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$ | ||
| 따라서 | 따라서 | ||
| - | $$e^{A(s,m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$ | + | $$e^{A\{s^\alpha \},m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$ |
| \begin{eqnarray*} | \begin{eqnarray*} | ||
| - | Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(s, | + | Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(\{s^\alpha\},m)}\\ |
| &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\ | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\ | ||
| - | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n | + | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n\\ |
| + | &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \exp \left\{ n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ | ||
| + | & | ||
| + | &=& 1 + n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] | ||
| \end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
| + | 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 | ||
| + | $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$ | ||
| + | |||
| + | =====자유 에너지의 계산===== | ||
| + | 지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다: | ||
| + | \begin{eqnarray} | ||
| + | \left< Z^n \right> | ||
| + | & | ||
| + | \end{eqnarray} | ||
| + | 그러므로 | ||
| + | \begin{eqnarray} | ||
| + | \left< F \right> | ||
| + | &=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] | ||
| + | \end{eqnarray} | ||
| 이다. | 이다. | ||
| + | |||
| + | =====질서 변수===== | ||
| + | 이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면 | ||
| + | $$0 = \frac{\partial \left< F \right> | ||
| + | 으로부터 | ||
| + | \begin{eqnarray} | ||
| + | m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} | ||
| + | &=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}} | ||
| + | &=& \int dh P(h) \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)] | ||
| + | \end{eqnarray} | ||
| + | 을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다. | ||
| + | 이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다. | ||
| + | ======함께 보기====== | ||
| + | [[물리:: | ||
| + | |||
| + | ======참고문헌====== | ||
| + | * https:// | ||
| + | * T. Schneider and E. Pytte, // | ||