이징 모형에서 외부장 $h$가 매지점마다 무작위로 주어지는 경우이다. 특히 $h$가 정규분포를 따라 $$P(h) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{h^2}{2\sigma^2} \right)$$ 인 경우를 주로 다룬다. 그 무작위 분포의 폭 $\sigma$에 따라서 저온에서도 정렬되지 않은 채로 남아있을 수 있다.

모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 평균장 이론이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ $1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해 넣었고, $h_i$가 스핀 $i$마다 다르게 주어져있음에 주의할 것.

분배 함수는 여전히 다음과 같다: $$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{\beta H}.$$ 이로부터 얻어지는 헬름홀츠 자유 에너지는 $$\left< F \right>_h = -T \left< \ln Z \right>_h$$ 이며 이 때 $\left< \right>_h$는 $h$의 분포에 따른 평균을 의미한다.

$\left< ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 복제(replica) 방법을 사용한다: $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{s_i^\alpha = \pm 1\right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h$$ 여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스이다. 먼저 다음의 결과를 유도해놓자: \begin{eqnarray*} \left< e^{\lambda h_i} \right>_h &=& \int_{-\infty}^\infty P(h) e^{\lambda h} dh\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{h^2}{2\sigma^2} \right) e^{\lambda h} dh\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{(h-\sigma^2 \lambda)^2}{2\sigma^2} \right) \exp \left( \frac{\sigma^4 \lambda^2}{2\sigma^2} \right) dh\\ &=& \exp \left( \frac{\sigma^2 \lambda^2}{2} \right). \end{eqnarray*} 이를 이용하면 다음을 보일 수 있다: \begin{eqnarray*} \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h &=& \left< \exp \left[\beta \left( s_1^1 + s_1^2 + \ldots \right) h_1 + \left( s_2^1 + s_2^2 + \ldots \right) h_2 + \ldots \right] \right>_h\\ &=& \exp \left[ \frac{1}{2} \sum_i \left( \beta \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \sigma^2 \right]. \end{eqnarray*} 따라서 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]$$ 이다.

여기에서 $$\sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha = \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2$$이어서 허바드-스트라토노비치 변환을 사용하면 위의 지수함수 중 하나를 다음처럼 고쳐쓸 수 있다: $$\exp \left[ \frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2 \right] = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) \right].$$