이징 모형에서 외부장 $h$가 매지점마다 무작위로 주어지는 경우이다. 특히 $h$가 정규분포를 따라 $$P(h) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{h^2}{2\sigma^2} \right)$$ 인 경우를 주로 다룬다. 그 무작위 분포의 폭 $\sigma$에 따라서 저온에서도 정렬되지 않은 채로 남아있을 수 있다.

모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 평균장 이론이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ $1/N$은 해밀토니안을 크기 변수로 만들기 위해 넣었고, $h_i$가 스핀 $i$마다 다르게 주어져있음에 주의할 것. 분배 함수는 다음과 같다: $$Z = \sum_{\left\{ s_i = \pm 1 \right\}} e^{-\beta H}.$$ 이로부터 얻어지는 헬름홀츠 자유 에너지는 $$\left< F \right>_h = -T \left< \ln Z \right>_h$$ 이며 이 때 $\left< \right>_h$는 $h$의 분포에 따른 평균을 의미한다.

$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 복제(replica) 방법을 사용한다: $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{s_i^\alpha = \pm 1\right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h$$ 여기에서 $\alpha$는 몇 번째 복제본인지 가리키기 위한 인덱스이다. 먼저 다음의 결과를 유도해놓자: \begin{eqnarray*} \left< e^{\lambda h_i} \right>_h &=& \int_{-\infty}^\infty P(h) e^{\lambda h} dh\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{h^2}{2\sigma^2} \right) e^{\lambda h} dh\\ &=& \int_{-\infty}^\infty \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} \exp \left( -\frac{(h-\sigma^2 \lambda)^2}{2\sigma^2} \right) \exp \left( \frac{\sigma^4 \lambda^2}{2\sigma^2} \right) dh\\ &=& \exp \left( \frac{\sigma^2 \lambda^2}{2} \right). \end{eqnarray*} 이를 이용하면 다음을 보일 수 있다: \begin{eqnarray*} \left< \exp \left(\beta \sum_i \sum_\alpha s_i^\alpha h_i \right) \right>_h &=& \left< \exp \left[\beta \left( s_1^1 + s_1^2 + \ldots \right) h_1 + \left( s_2^1 + s_2^2 + \ldots \right) h_2 + \ldots \right] \right>_h\\ &=& \exp \left[ \frac{1}{2} \sum_i \left( \beta \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \sigma^2 \right]. \end{eqnarray*} 따라서 $$\left< Z^n \right>_h = \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp\left(\frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha \right) \exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]$$ 이다. 여기에서 $$\sum_\alpha \sum_{ij} s_i^\alpha s_j^\alpha = \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2$$이기 때문에, 허바드-스트라토노비치 변환을 사용하면 위의 지수함수 중 하나를 다음처럼 고쳐쓸 수 있다: $$\exp \left[ \frac{\beta J}{N} \sum_\alpha \left( \sum_i s_i^\alpha \right)^2 \right] = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) \right].$$ 따라서 \begin{eqnarray*} \left< Z^n \right>_h &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int \prod_\alpha dx_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( x_\alpha \sqrt{\frac{2\beta J}{N}} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2} x_\alpha^2 \right) + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]\\ &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left[ \sum_\alpha \left( \tilde{x}_\alpha \sqrt{2\beta J} \sum_i s_i^\alpha - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \sum_i \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right]\\ &=& \sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left( - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) \exp \left\{ \sum_i \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\}\\ \end{eqnarray*} 이며 이 때 $\tilde{x}_\alpha \equiv x_\alpha / \sqrt{N}$으로 정의된다. 스핀 배치에 대한 합, $\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}}$에 걸리는 부분만을 먼저 생각해보자: $$\sum_{\left\{ s_i^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left\{ \sum_{i=1}^N \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s_i^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s_i^\alpha \right)^2 \right] \right\} = \left\{ \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] \right\}^N.$$ 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때 $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ 로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha)$로 정의하여 $Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자.

지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다: \begin{eqnarray*} \left< Z^n \right>_h &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left( - \frac{1}{2}N \tilde{x}_\alpha^2 \right) Z_1^N(\tilde{x}_\alpha)\\ &=& \left( \frac{N}{2\pi} \right)^{n/2} \int \prod_\alpha d\tilde{x}_\alpha \exp \left[ N \left(- \frac{1}{2} \tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1 \right) \right]. \end{eqnarray*}