물리:무작위장_이징_모형

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물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/16 12:15] – [안장점 근사] admin물리:무작위장_이징_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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 ======온곳으로 연결된 경우====== ======온곳으로 연결된 경우======
  
-=====자유 에너지=====+=====해밀토니안=====
 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다:
 $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$
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 =====복제 방법===== =====복제 방법=====
-$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제(replica) 방법]]을 사용한다:+$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제 방법]]을 사용한다:
 $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$
 $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며
Line 52: Line 52:
 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때 위 식의 우변은 $Z_1^N$의 형태로 쓸 수 있으며 이 때
 $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$ $$Z_1(\tilde{x}_\alpha) \equiv \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ \sqrt{2\beta J} \sum_\alpha \tilde{x}_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$
-로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha)$로 정의하여 +로서 스핀 하나에 대한 분배 함수이다. 지수 함수 안의 내용을 $A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)$로 정의하여 
-$Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자.+$Z_1(\tilde{x}_\alpha) = \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp \left[ A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha) \right]$라고 적자.
  
 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다: 지금까지의 내용을 정리하면 다음과 같다:
Line 67: Line 67:
 0 &=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\ 0 &=& \frac{\partial}{\partial \tilde{x}_\alpha} \left[ - \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 + \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]\\
 &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\ &=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{1}{Z_1} \frac{\partial Z_1}{\partial \tilde{x}_\alpha}\\
-&=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha)]}{\sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp[A(s^\alpha, \tilde{x}_\alpha)]}.+&=& -\tilde{x}_\alpha + \frac{\sqrt{2\beta J} \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} s^\alpha \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}{\sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} \exp[A(\{s^\alpha\}, \tilde{x}_\alpha)]}.
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 따라서 따라서
Line 74: Line 74:
 $$\left< Z^n \right>_h = \exp\left[ Nn \left( -\frac{1}{2} 2 \beta J m^2 \right) + N \ln Z_1 (\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m) - \frac{1}{2} n \ln c \right]$$ $$\left< Z^n \right>_h = \exp\left[ Nn \left( -\frac{1}{2} 2 \beta J m^2 \right) + N \ln Z_1 (\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m) - \frac{1}{2} n \ln c \right]$$
 이며, 여기에서 이며, 여기에서
-$$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]_{\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m} = +$$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 \ln Z_1(\tilde{x}_\alpha) \right]_{\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m} = 
--\left< ( s - m )^2 \right>_A$$ +\left< ( s^\alpha - m )^2 \right>_A$$ 
-다.+인데 $N \to \infty$에서 두 번째 항은 0으로 접근하므로 $\ln c$는 무시해도 좋다. 
 + 
 =====$Z_1$의 계산===== =====$Z_1$의 계산=====
 $\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 $\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음
-$$e^{A(s,m)} = \exp \left[ 2\beta J m \sum_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2}\beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$+$$e^{A(\{s^\alpha \},m)} = \exp \left[ 2\beta J m \sum_\alpha s^\alpha + \frac{1}{2}\beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right]$$
 지수함수 안의 제곱항을 [[:수학:허바드-스트라토노비치 변환]]으로 처리해준다: 지수함수 안의 제곱항을 [[:수학:허바드-스트라토노비치 변환]]으로 처리해준다:
 $$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$ $$\exp \left[ \frac{1}{2} \beta^2 \sigma^2 \left( \sum_\alpha s^\alpha \right)^2 \right] = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + \beta \sigma \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) u \right] .$$
 따라서 따라서
-$$e^{A(s,m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$+$$e^{A\{s^\alpha \},m)} = \sqrt{\frac{1}{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty du \exp \left[ -\frac{u^2}{2} + (2\beta J m + \beta \sigma u) \left( \sum_\alpha s^\alpha \right) \right],$$
 \begin{eqnarray*} \begin{eqnarray*}
-Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(s,m)}\\+Z_1 \left( \tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J}m \right) &=& \sum_{\left\{ s^\alpha = \pm 1 \right\}} e^{A(\{s^\alpha\},m)}\\
 &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\ &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \prod_{\alpha=1}^n \left[\sum_{s^\alpha = \pm 1} e^{(2\beta J m + \beta \sigma u) s^\alpha} \right]\\
-&=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n+&=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]^n\\ 
 +&=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \exp \left\{ n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ 
 +&\approx& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \left\{ 1 + n \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ 
 +&=& 1 + n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]
 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 +이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면
 +$$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$
 +
 +=====자유 에너지의 계산=====
 +지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다:
 +\begin{eqnarray}
 +\left< Z^n \right>_h &\approx& \exp\left\{ Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\
 +&\approx& 1 + Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].
 +\end{eqnarray}
 +그러므로
 +\begin{eqnarray}
 +\left< F \right>_h &=& -T \left( \lim_{n \to 0} \frac{\left< Z^n \right>_h - 1}{n} \right)\\
 +&=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]
 +\end{eqnarray}
 이다. 이다.
 +
 +=====질서 변수=====
 +이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면
 +$$0 = \frac{\partial \left< F \right>_h}{\partial m} = 2NJm - TN \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \frac{2\sinh(2\beta J m + \beta \sigma u)}{2\cosh(2\beta J m + \beta \sigma u)} 2\beta J$$
 +으로부터
 +\begin{eqnarray}
 +m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \tanh(2\beta J m + \beta \sigma u)\\
 +&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}}  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]\\
 +&=& \int dh P(h)  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]
 +\end{eqnarray}
 +을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다.
 +이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다.
 +======함께 보기======
 +[[물리::셰링턴-커크패트릭 모형]]
 +
 +======참고문헌======
 +  * https://inordinatum.wordpress.com/2013/01/20/mean-field-solution-of-the-random-field-ising-model/
 +  * T. Schneider and E. Pytte, //Random-field instability of the ferromagnetic state//, Phys. Rev. B 15, 1519 (1977)
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