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물리:무작위장_이징_모형 [2018/05/16 13:14] – [$Z_1$의 계산] admin | 물리:무작위장_이징_모형 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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Line 6: | Line 6: | ||
======온곳으로 연결된 경우====== | ======온곳으로 연결된 경우====== | ||
- | =====자유 에너지===== | + | =====해밀토니안===== |
모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[: | 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[: | ||
$$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ | $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ | ||
Line 17: | Line 17: | ||
=====복제 방법===== | =====복제 방법===== | ||
- | $\left< \ln Z \right> | + | $\left< \ln Z \right> |
$$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ | $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ | ||
$Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 | $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 | ||
Line 74: | Line 74: | ||
$$\left< Z^n \right> | $$\left< Z^n \right> | ||
이며, 여기에서 | 이며, 여기에서 | ||
- | $$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ | + | $$ c \equiv \frac{\partial^2}{\partial \tilde{x}_\alpha^2} \left[ \frac{1}{2}\tilde{x}_\alpha^2 |
- | -1 + \left< ( s^\alpha - m )^2 \right> | + | 1 - \left< ( s^\alpha - m )^2 \right> |
- | 이다. | + | 인데 $N \to \infty$에서 두 번째 항은 0으로 접근하므로 $\ln c$는 무시해도 좋다. |
+ | |||
=====$Z_1$의 계산===== | =====$Z_1$의 계산===== | ||
$\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 | $\tilde{x}_\alpha = \sqrt{2\beta J} m$에서의 $Z_1$을 계산해보자. 먼저 아래처럼 적은 다음 | ||
Line 93: | Line 95: | ||
\end{eqnarray*} | \end{eqnarray*} | ||
이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 | 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 | ||
- | $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$ | + | $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$ |
+ | |||
+ | =====자유 에너지의 계산===== | ||
+ | 지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다: | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \left< Z^n \right> | ||
+ | & | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 그러므로 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \left< F \right> | ||
+ | &=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 이다. | ||
+ | |||
+ | =====질서 변수===== | ||
+ | 이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면 | ||
+ | $$0 = \frac{\partial \left< F \right> | ||
+ | 으로부터 | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} | ||
+ | &=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}} | ||
+ | &=& \int dh P(h) \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)] | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | 을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다. | ||
+ | 이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다. | ||
+ | ======함께 보기====== | ||
+ | [[물리:: | ||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | * https:// | ||
+ | * T. Schneider and E. Pytte, // |