물리:무작위장_이징_모형

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 ======온곳으로 연결된 경우====== ======온곳으로 연결된 경우======
  
-=====자유 에너지=====+=====해밀토니안=====
 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다:
 $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$
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 =====복제 방법===== =====복제 방법=====
-$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제(replica) 방법]]을 사용한다:+$\left< \ln Z \right>_h$를 구하기 위해 소위 [[수학:복제 방법]]을 사용한다:
 $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$ $$\ln Z = \lim_{n \to 0} \frac{Z^n-1}{n}.$$
 $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며 $Z^n$의 평균은 다음처럼 구해지며
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 \end{eqnarray*} \end{eqnarray*}
 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면
-$$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$+$$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$ 
 + 
 +=====자유 에너지의 계산===== 
 +지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다: 
 +\begin{eqnarray} 
 +\left< Z^n \right>_h &\approx& \exp\left\{ Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\ 
 +&\approx& 1 + Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]. 
 +\end{eqnarray} 
 +그러므로 
 +\begin{eqnarray} 
 +\left< F \right>_h &=& -T \left( \lim_{n \to 0} \frac{\left< Z^n \right>_h - 1}{n} \right)\\ 
 +&=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] 
 +\end{eqnarray} 
 +이다. 
 + 
 +=====질서 변수===== 
 +이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면 
 +$$0 = \frac{\partial \left< F \right>_h}{\partial m} = 2NJm - TN \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \frac{2\sinh(2\beta J m + \beta \sigma u)}{2\cosh(2\beta J m + \beta \sigma u)} 2\beta J$$ 
 +으로부터 
 +\begin{eqnarray} 
 +m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \tanh(2\beta J m + \beta \sigma u)\\ 
 +&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}}  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]\\ 
 +&=& \int dh P(h)  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)] 
 +\end{eqnarray} 
 +을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다. 
 +이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다. 
 +======함께 보기====== 
 +[[물리::셰링턴-커크패트릭 모형]] 
 + 
 +======참고문헌====== 
 +  * https://inordinatum.wordpress.com/2013/01/20/mean-field-solution-of-the-random-field-ising-model/ 
 +  * T. Schneider and E. Pytte, //Random-field instability of the ferromagnetic state//, Phys. Rev. B 15, 1519 (1977)
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