물리:무작위장_이징_모형

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 ======온곳으로 연결된 경우====== ======온곳으로 연결된 경우======
  
-=====자유 에너지=====+=====해밀토니안=====
 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다: 모든 스핀이 모든 스핀과 연결되어 [[:물리:평균장 이론]]이 정확해지는 경우이다. 이 때의 해밀토니안은 아래와 같다:
 $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$ $$H = -\frac{J}{N} \sum_{ij} s_i s_j - \sum s_i h_i.$$
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 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면 이다. $n$이 작은 경우를 다루고 있으므로 $\ln (1+\epsilon) \approx \epsilon$임을 이용하면
 $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$ $$\lim_{n \to 0} \ln Z_1 = n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].$$
 +
 +=====자유 에너지의 계산=====
 +지금까지 $n \ll 1$에서 다음을 구하였다:
 +\begin{eqnarray}
 +\left< Z^n \right>_h &\approx& \exp\left\{ Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right] \right\}\\
 +&\approx& 1 + Nn \left( -\beta J m^2 \right) + N n \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right].
 +\end{eqnarray}
 +그러므로
 +\begin{eqnarray}
 +\left< F \right>_h &=& -T \left( \lim_{n \to 0} \frac{\left< Z^n \right>_h - 1}{n} \right)\\
 +&=& -N J m^2 - T N \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2} \ln \left[ 2 \cosh (2\beta J m + \beta \sigma u) \right]
 +\end{eqnarray}
 +이다.
 +
 +=====질서 변수=====
 +이 자유 에너지를 최소로 만드는 질서변수 $m$을 찾으면
 +$$0 = \frac{\partial \left< F \right>_h}{\partial m} = 2NJm - TN \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \frac{2\sinh(2\beta J m + \beta \sigma u)}{2\cosh(2\beta J m + \beta \sigma u)} 2\beta J$$
 +으로부터
 +\begin{eqnarray}
 +m &=& \int \frac{du}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}u^2}  \tanh(2\beta J m + \beta \sigma u)\\
 +&=& \int \frac{dh}{\sqrt{2\pi \sigma^2}} e^{-\frac{h^2}{2 \sigma^2}}  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]\\
 +&=& \int dh P(h)  \tanh[\beta(2 J m + \sigma u)]
 +\end{eqnarray}
 +을 얻는다. 중간에 $h = \sigma u$로 변수를 치환했다.
 +이 방정식을 자체모순 없이 만족시키는 $m$을 구하면 된다.
 +======함께 보기======
 +[[물리::셰링턴-커크패트릭 모형]]
 +
 +======참고문헌======
 +  * https://inordinatum.wordpress.com/2013/01/20/mean-field-solution-of-the-random-field-ising-model/
 +  * T. Schneider and E. Pytte, //Random-field instability of the ferromagnetic state//, Phys. Rev. B 15, 1519 (1977)
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