물리:범함수_방정식_functional_equation

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 ====== 범함수 방정식 (functional equation) ====== ====== 범함수 방정식 (functional equation) ======
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 '범함수(functional)'를 쉽게 표현하자면 '함수의 함수' 이다. 어떤 변수 $x$의 집합을 정의역으로 갖는 함수 $g(x)$가 있을 때, 그 함수 $g(x)$의 집합을 정의역으로 갖는 함수가 있다면 그를 '범함수'라고 부르기 때문이다. $\\$ '범함수(functional)'를 쉽게 표현하자면 '함수의 함수' 이다. 어떤 변수 $x$의 집합을 정의역으로 갖는 함수 $g(x)$가 있을 때, 그 함수 $g(x)$의 집합을 정의역으로 갖는 함수가 있다면 그를 '범함수'라고 부르기 때문이다. $\\$
 그러한 범함수를 이용하여 기술되는 방정식이 있다면 그를 '범함수 방정식(functional equation)' 이라고 부른다. 가령, 아래의 식을 예로 들어볼 수 있다. $\\$ 그러한 범함수를 이용하여 기술되는 방정식이 있다면 그를 '범함수 방정식(functional equation)' 이라고 부른다. 가령, 아래의 식을 예로 들어볼 수 있다. $\\$
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 이에 대해 더 자세히 설명하기 위해, 1차원 사상에 대한 추가적인 게시글을 작성 완료하게 되면 아래에 덧붙이겠다.)$\\$ 이에 대해 더 자세히 설명하기 위해, 1차원 사상에 대한 추가적인 게시글을 작성 완료하게 되면 아래에 덧붙이겠다.)$\\$
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-$g(x)$는 $x=0$ 근처에서 전개하였을 때 다음과 같은 형태의 '테일러 전개 (taylor expansion)'이 가능하다고 하자.$\\$+$g(x)$는 $x=0$ 근처에서 전개하였을 때 다음과 같은 형태의 '테일러 전개 (Taylor expansion)'이 가능하다고 하자.$\\$
 $$g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$$ $\\$ $$g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$$ $\\$
-이때, $x$에 대한 1차항의 계수가 $0$인 이유는 $g(x)$가 $x=0$에서 극대값을 갖기 때문이며,$\\$ +이때, $x$에 대한 1차항의 계수가 $0$인 이유는 $g(x)$가 $x=0$에서 극대값을 갖기 때문이며, 물론 그러한 상황에서는 $x$의 2차항의 계수인 $b$는 $0$이 되어서는 안될 것이다.$\\$
-물론 그러한 상황에서는 $x$의 2차항의 계수인 $b$는 0이 되어서는 안될 것이다.$\\$+
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-그리고 주어진 문제는 다음과 같다 : '계수 $b$와 $d$, 그리고 '축적인자' $\alpha$를 구해볼 수 있는가'$\\$ +그리고 주어진 문제는 다음과 같다 : '각각의 계수 $b$와 $d$, 그리고 '축적 인자' $\alpha$를 구해볼 수 있는가'$\\$ 
-'또한, $x$에 대한 3차항이 위 전개에 포함되지 않는다는 것을 $c=0$ 임을 통해 보일 수 있겠는가'$\\$+'또한, $x$에 대한 3차항이, $g(x)$를 $x=0$ 근처에서 테일러 전개한 식에 포함되지 않는다는 것을 $c=0$ 임을 통해 보일 수 있겠는가'$\\$ $\\$ 
 +이번 게시글에서는, 이와 같은 범함수 방정식에 대한 문제를 풀이하는 기초적인 방법을 소개하고 설명하는 것에 그 목적이 있다.
 ====== 계수를 직접 구하기 ====== ====== 계수를 직접 구하기 ======
 계산이 다소 번잡한 대신에, 가장 빠르게 접근할 수 있는 방법이 있다. $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$ 라는 함수식을 그대로 이용하여 풀이하는 것이다. 계산이 다소 번잡한 대신에, 가장 빠르게 접근할 수 있는 방법이 있다. $g(x)=1+bx^2+cx^3+dx^4+...$ 라는 함수식을 그대로 이용하여 풀이하는 것이다.
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 이러한 풀이를 높은 효율로 계산할 수 있게 하는 도구들이 있다. (그 중 우리는 'Mathematica'를 이용해 보자.)$\\$ 이러한 풀이를 높은 효율로 계산할 수 있게 하는 도구들이 있다. (그 중 우리는 'Mathematica'를 이용해 보자.)$\\$
 우선 아래와 같이 2차항, 3차항과 4차항의 계수를 미지수로 설정해 준다면, $g(x)$ 및 $\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right)$ 는 다음과 같다. $\\$ 우선 아래와 같이 2차항, 3차항과 4차항의 계수를 미지수로 설정해 준다면, $g(x)$ 및 $\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right)$ 는 다음과 같다. $\\$
-{{:물리:mathematica_수정_1.png?1500|}}$\\$+{{:물리:mathematica_수정_1.png?1700|}}$\\$
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 원하는 차수에 대응되는 각 계수를 뽑아내는 함수를 (아래와 같이) 이용하면, 각각 다음과 같다.$\\$ 원하는 차수에 대응되는 각 계수를 뽑아내는 함수를 (아래와 같이) 이용하면, 각각 다음과 같다.$\\$
-{{:물리:mathematica_수정_2.png?500|}}$\\$+{{:물리:mathematica_수정_2.png?350|}}$\\$
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-이렇게 얻어진 0차, 2차, 4차항의 계수들은 각각 $1,\ b,\ d$ 와 같아야하며, 그를 설명하는 수식은 앞서 언급한 수식과 같다 : $$g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$$  $\\$+이렇게 얻어진 0차, 2차, 3차, 그리고 4차항의 계수들은 각각 $1,\ b,\ c, \ d$ 와 같아야하며, 그를 설명하는 수식은 앞서 언급한 수식과 같다 : $$g(x)=\alpha g^2 \left(\frac {x}{\alpha} \right).$$  $\\$
 그 3가지 조건과, 초반에 언급한 $\alpha<0$ 및 $b \ne 0$ 을 함께 연립한다면, 그를 풀이하는 (아래와 같은) 함수를 이용하여 풀이하자.$\\$ $\\$ 그 3가지 조건과, 초반에 언급한 $\alpha<0$ 및 $b \ne 0$ 을 함께 연립한다면, 그를 풀이하는 (아래와 같은) 함수를 이용하여 풀이하자.$\\$ $\\$
 {{:물리:mathematica_수정_3.png?1100|}}$\\$ {{:물리:mathematica_수정_3.png?1100|}}$\\$
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  • Last modified: 2023/09/05 15:46
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