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물리:베테_가설_풀이_bethe_ansatz [2023/03/29 09:17] – minwoo | 물리:베테_가설_풀이_bethe_ansatz [2023/09/07 06:56] (current) – minwoo | ||
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\end{align} | \end{align} | ||
- | 와 같이 $|2,4,7 \rangle$에 대한 결과적인 항들을 얻을 수 있다. | + | 와 같이 $|2,4,7 \rangle$에 대한 결과적인 항을 얻을 수 있다. |
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
Line 564: | Line 564: | ||
$$ | $$ | ||
=(\color{green}{A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3}} | =(\color{green}{A_{123}z_1^{x_1}z_2^{x_2}z_3^{x_3}} | ||
- | +\color{black}A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3} | + | +\color{black}{A_{213}z_2^{x_1}z_1^{x_2}z_3^{x_3}} |
- | +\color{blue}A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3} \\ | + | +\color{blue}{A_{132}z_1^{x_1}z_3^{x_2}z_2^{x_3}} \\ |
- | \qquad \qquad \qquad +\color{orange}A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3} | + | \qquad \qquad \qquad +\color{orange}{A_{312}z_3^{x_1}z_1^{x_2}z_2^{x_3}} |
- | +\color{red}A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3} | + | +\color{red}{A_{231}z_2^{x_1}z_3^{x_2}z_1^{x_3}} |
- | +\color{purple}A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3} | + | +\color{purple}{A_{321}z_3^{x_1}z_2^{x_2}z_1^{x_3}} |
\ ) | \ ) | ||
$$ | $$ | ||
Line 574: | Line 574: | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
위의 풀이에 따라, 아래의 결과를 얻는다. | 위의 풀이에 따라, 아래의 결과를 얻는다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | z_1^L = \frac{A_{132}}{A_{321}} = \frac{A_{132}}{A_{312}}\frac{A_{312}}{A_{321}} = B(z_1, | ||
+ | $$ | ||
$$ | $$ | ||
z_2^L = \frac{A_{213}}{A_{132}} = \frac{A_{213}}{A_{123}}\frac{A_{123}}{A_{132}} = B(z_2, | z_2^L = \frac{A_{213}}{A_{132}} = \frac{A_{213}}{A_{123}}\frac{A_{123}}{A_{132}} = B(z_2, | ||
$$ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | z_3^L = \frac{A_{312}}{A_{123}} = \frac{A_{312}}{A_{132}}\frac{A_{132}}{A_{123}} = B(z_3, | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===== ASEP model ===== | ||
+ | |||
+ | TASEP 모형에 대해서 $N=1$, $N=2$, 그리고 $N=3$의 경우에 대해 풀이하였으므로 | ||
+ | |||
+ | 'ASEP 모형' | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | E = \sum_{j=1}^N (1-p/z_j - qz_j) | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 그리고 $\{z_j\}$는 다음의 BAE를 만족한다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | z_j^L = \prod_{l\ne j} \left[ -\frac{z_j-qz_jz_l -p}{z_l-qz_jz_l -p} \right]. | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 입자가 오른쪽으로만 이동하는 경우로서 $q=0$, $p=1$를 대입하면, | ||
+ | |||
+ | 앞서 수식과 함께 베테 가설 풀이로 살펴본 TASEP 모형의 결과들을 이해할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===== 풀이 시 주의할 사항 ===== | ||
+ | |||
+ | 앞서 소개한 [[물리: | ||
+ | |||
+ | ASEP 모형의 고유값 $E=0$는 곧 시간에 무관한 ' | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 베테 가설 풀이를 진행하면, | ||
+ | |||
+ | 가령, 위에서 $N=2$에 대한 TASEP 모형을 풀이할 때, 각 계수 사이의 비율에 대한 조건식을 다음과 같이 얻었다. | ||
+ | |||
+ | $$ \frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{1-z_2}{1-z_1}=-\frac{z_2-1}{z_1-1} $$ | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 이때, $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/ | ||
+ | |||
+ | 따라서, $ \frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{z-1}{z-1}= -1$으로 | ||
+ | |||
+ | $z_1=z_2=z$로 두면 다음과 같은 이상한 결과를 얻게 될 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$\psi(x_1, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 그러나, 이것은 옳지 않다. 앞서 얻은 계수의 비율에 대한 조건은 원래 다음의 형태를 가졌다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \to A_{12}+A_{21}=A_{12}z_2+A_{21}z_1 | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | \to A_{12}(1-z_2)=A_{21}(z_1-1)=-A_{21}(1-z_1) | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 여기에서, | ||
+ | |||
+ | 계수 $A_{12}$와 $A_{21}$에 무관하게 방정식이 만족되므로 | ||
+ | |||
+ | $z_1=z_2=1$일 때는 (아래와 같이) 파동함수가 상수(constant)이다. | ||
+ | |||
+ | $$\psi(x_1, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 이러한 파동함수의 값은 규격화(normalization)를 통해서 결정 가능하다. | ||
+ | |||
+ | $$\\ $$ | ||
+ | 즉, 베테 가설 풀이를 통해 해를 구할 경우에는 $0/0$꼴의 극한값을 계산해야 하는 경우가 생기며, 이러한 경우에는 | ||
+ | |||
+ | 나누기 전의 원식을 미리 잘 파악해두는 것이 중요하다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | |||
+ | ===== $z$에 대한 조건 ===== | ||
+ | $N=1$의 예에서 파동함수를 도입할 때, $z=e^{ik}$로서 $z$의 크기가 $1$이라는 조건이 포함되었다. | ||
+ | |||
+ | $N=2, | ||
+ | |||
+ | |||
+ | 이러한 조건은 고유값이 $E=0$인 경우가 정상 상태(stationary state)의 해이며, 그 해가 유일한 해라는 것을 보이는데 있어서 중요하다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 예를 들어 $N=2$에서 $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/ | ||
+ | |||
+ | 즉, (위에서 언급한 $z$에 대한 조건이 없다면) 다음을 만족하기만 하면 TASEP의 $E=0$에 해당하는 해가 됨을 알 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ | ||
+ | z_2 = \frac{z_1}{-1+2 z_1} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 이렇듯 변수는 2개이고 풀이되는 조건식은 1개이므로, | ||
+ | |||
+ | $z_1, | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 베테 가설 풀이는 원래 1차원 양자 사슬 모형을 풀이할 때에는 $z_i=e^{ik_i}$로 설정하여 해를 도입하므로 | ||
+ | |||
+ | 그를 따라서, 일반적인 $N$의 경우도 $z$의 크기가 $1$과 같다는 조건을 포함하면 | ||
+ | |||
+ | TASEP의 $E=0$일 때의 해가 $z_1=z_2=1$로서 유일하다는 것을 다음과 같이 확인할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
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+ | (Mathematica를 이용하여) 파란색 그래프는 조건에 따라 $|z_1|=1$을 그린 것이고, 주황색 그래프는 $|z_2|=|\frac{z_1}{-1+2 z_1}|=1$를 만족하는 $z_1$을 그린 것이다. | ||
+ | |||
+ | 두 그래프의 접점이 $z_1=1$이므로 $z_2=\frac{z_1}{-1+2 z_1}=\frac{1}{-1+2}=1$로서 $z_1=z_2=1$이다. | ||
+ | |||
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+ | $$ \\ $$ | ||
+ | ===== 참고 문헌 ===== | ||
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+ | Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014. | ||
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+ | Leh-Hun Gwa and Herbert Spohn, Bethe solution for the dynamical-scaling exponent of the noisy Burgers equation, 1992. | ||
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