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--- 물리:베테_가설_풀이_bethe_ansatz [2023/03/29 09:48] – minwoo
+++ 물리:베테_가설_풀이_bethe_ansatz [2023/09/07 06:56] (current) – minwoo
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 \end{align}
-와 같이 $|2,4,7 \rangle$에 대한 결과적인 항들을 얻을 수 있다.
+와 같이 $|2,4,7 \rangle$에 대한 결과적인 항을 얻을 수 있다.
 $$ \\ $$
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 $$ \\ $$
-베테 가설 풀이를 진행하면, 이러한 $E=0$에 대해서 파동함수 $\psi(x_1,x_2,...,x_N)$이 $0$이 되는 것으로 잘못 이해하게 될 수 있다.
+베테 가설 풀이를 진행하면, 이러한 $E=0$에 대해서 파동함수 $\psi(x_1,x_2,...,x_N)$이 $0$이 되는 것으로 잘못 이해할 수 있는 경우가 생긴다.
 가령, 위에서 $N=2$에 대한 TASEP 모형을 풀이할 때, 각 계수 사이의 비율에 대한 조건식을 다음과 같이 얻었다.
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 $$ \\ $$
-이때, $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$가 $0$인 경우는 $z_1=z_2=1$인 경우로서 $z_1=z_2$가 서로 같은 경우이다.
+이때, $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$가 $0$인 경우는 $z_1=z_2=1$인 경우로서 $z_1=z_2$가 서로 같은 경우이다. (아래의 '$z$에 대한 조건' 내용 참고.)
-따라서, $ \frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{z-1}{z-1}= -1$으로서
+따라서, $ \frac{A_{21}}{A_{12}}=-\frac{z-1}{z-1}= -1$으로
 $z_1=z_2=z$로 두면 다음과 같은 이상한 결과를 얻게 될 수 있다.
 $$\psi(x_1,x_2)=A_{12}z^{x_1}z^{x_2} + A_{21}z^{x_1}z^{x_2}= A_{12}(z^{x_1}z^{x_2}-z^{x_1}z^{x_2})=0.$$
-하지만, 이것은 옳지 않다. 앞서 얻은 계수의 비율에 대한 조건은 원래 다음의 형태를 가졌다.
+$$ \\ $$
+그러나, 이것은 옳지 않다. 앞서 얻은 계수의 비율에 대한 조건은 원래 다음의 형태를 가졌다.
 $$
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 $$ \\ $$
-===== 참고문헌 =====
+===== $z$에 대한 조건 =====
+$N=1$의 예에서 파동함수를 도입할 때, $z=e^{ik}$로서 $z$의 크기가 $1$이라는 조건이 포함되었다.
+$N=2,3,...$에 대해서도 마찬가지로, $z$의 크기가 $1$이라는 조건은 Bethe ansatz에 포함되어야 한다.
+이러한 조건은 고유값이 $E=0$인 경우가 정상 상태(stationary state)의 해이며, 그 해가 유일한 해라는 것을 보이는데 있어서 중요하다.
+$$ \\ $$
+예를 들어 $N=2$에서 $E = \sum_{i=1}^2 (1-1/z_i)$이고, 그러한 $E=0$를 만족하는 $\{z_1, z_2\}$의 쌍은 무수히 많다.
+즉, (위에서 언급한 $z$에 대한 조건이 없다면) 다음을 만족하기만 하면 TASEP의 $E=0$에 해당하는 해가 됨을 알 수 있다.
+$$
+z_2 = \frac{z_1}{-1+2 z_1}
+$$
+이렇듯 변수는 2개이고 풀이되는 조건식은 1개이므로, 해가 유일하지 않고 무수히 많게 되어
+$z_1,z_2$의 크기에 대한 제한 조건이 추가로 필요하다.
+$$ \\ $$
+베테 가설 풀이는 원래 1차원 양자 사슬 모형을 풀이할 때에는 $z_i=e^{ik_i}$로 설정하여 해를 도입하므로
+그를 따라서, 일반적인 $N$의 경우도 $z$의 크기가 $1$과 같다는 조건을 포함하면
+TASEP의 $E=0$일 때의 해가 $z_1=z_2=1$로서 유일하다는 것을 다음과 같이 확인할 수 있다.
+{{:물리:bethe_mathematica.png?650|}}
+(Mathematica를 이용하여) 파란색 그래프는 조건에 따라 $|z_1|=1$을 그린 것이고, 주황색 그래프는 $|z_2|=|\frac{z_1}{-1+2 z_1}|=1$를 만족하는 $z_1$을 그린 것이다.
+두 그래프의 접점이 $z_1=1$이므로 $z_2=\frac{z_1}{-1+2 z_1}=\frac{1}{-1+2}=1$로서 $z_1=z_2=1$이다.
+$$ \\ $$
+===== 참고 문헌 =====
 Jae Dong Noh, Exactly Solvable Many-Body Stochastic Processes, 2014.