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물리:복제_대칭성_깨짐_해 [2022/12/02 14:06] – [해의 안정성] jiwon | 물리:복제_대칭성_깨짐_해 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1 | ||
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\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
- | [[수학: | + | [[수학: |
$J_0=h=0$일 때 $\Xi$는 $u$, $v$에 대해 홀함수이므로, | $J_0=h=0$일 때 $\Xi$는 $u$, $v$에 대해 홀함수이므로, | ||
$q_1$에 대한 바로 앞의 식에서 $q_0$와 $q_1$이 작다고 놓고 우변을 전개하면 첫 항이 $\beta^2 J^2 q_1$이므로 $q_1$은 $T< | $q_1$에 대한 바로 앞의 식에서 $q_0$와 $q_1$이 작다고 놓고 우변을 전개하면 첫 항이 $\beta^2 J^2 q_1$이므로 $q_1$은 $T< | ||
+ | |||
+ | ===물리량들=== | ||
+ | |||
+ | 자유에너지를 $\beta$에 대해 미분함으로써 내부 에너지를 구할 수 있다. $J_0=0$으로 놓으면 | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | U = \frac{\partial(\beta f_\text{1RSB})}{\partial \beta} | ||
+ | = \frac{\beta J^2}{2}(1-m_1) q_1^2 + \frac{\beta J^2}{2} m_1 q_0^2 - \frac{\beta J^2}{2} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 이며, 미분과정에서는 $q_0$, $q_1$로 미분할 때 사용했던 식들을 가져다 썼다. | ||
+ | |||
+ | 나아가 $h=0$이면 앞에서 $m=0$인 것과 같은 논법으로 $q_0=0$임도 논할 수 있다. 따라서 이 경우 자유에너지는 다음과 같다: | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | \beta f_\text{1RSB} = \frac{\beta^2 J^2}{4} \left[ (m_1-1)q_1^2 + 2q_1 -1 \right] - \frac{1}{m_1} \int Du \ln \int Dv \left[ 2\cosh \left( \beta J \sqrt{q_1} v \right) \right]^{m_1}. | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | |||
+ | 그런데 | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | I \equiv \int Dz \left[ 2\cosh\left(z \lambda)\right) \right]^{m_1} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 이라 할 때 $2\cosh(x) \approx \exp [x \times \text{sgn}(x)]$임을 통해 $\lim_{\lambda \to \infty} I = 2\exp(m_1^2 \lambda^2/ | ||
+ | \begin{eqnarray} | ||
+ | \beta f_\text{1RSB} & | ||
+ | &=& \frac{\beta^2 J^2}{4} \left[ (m_1-1)q_1^2 + 2q_1 -1 \right] - \frac{\beta^2 J^2}{2} m_1 q_1 - \frac{\ln 2}{m_1}. | ||
+ | \end{eqnarray} | ||
+ | |||
+ | $m_1$으로 미분했을 때 0이 되는 조건으로부터 | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | m_1 = \frac{2\sqrt{\ln 2}}{\beta J} \frac{1}{\sqrt{1-(1-q_1)^2}} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 을 결정할 수 있다. 이 식은 $T \to 0$에서 $m_1 \to 0$임을 보여준다. | ||
+ | |||
+ | 앞에서 [[물리: | ||
+ | 온도 $T$를 충분히 작게 잡은 후 적절한 초기값, 예를 들어 $m=0$과 $q_1=1$에서 출발하여, | ||
+ | \begin{equation} | ||
+ | q_1 = \int Du \frac{\int Dv \cosh^{m_1}\left(\beta J \sqrt{q_1}\right) \tanh^2 \left(\beta J \sqrt{q_1}\right)}{\int Dv \cosh^{m_1}\left(\beta J \sqrt{q_1}\right)} | ||
+ | \end{equation} | ||
+ | 을 반복해서 적용함으로써 수렴되는 해 $(m_1, q_1)$를 찾고 $a$의 크기를 가늠할 수 있다. [[물리: | ||
+ | |||
+ | |||
====해의 안정성==== | ====해의 안정성==== | ||
1차 복제 대칭성 깨짐 해의 안정성은 이전과 마찬가지로 헤세 행렬의 세 번째 고윳값 $\lambda_3 = P-2Q-R$의 부호를 통해 결정할 수 있다. $J_0=h=0$로 둘 것이고, 다음 몇 가지 경우를 확인해보자. | 1차 복제 대칭성 깨짐 해의 안정성은 이전과 마찬가지로 헤세 행렬의 세 번째 고윳값 $\lambda_3 = P-2Q-R$의 부호를 통해 결정할 수 있다. $J_0=h=0$로 둘 것이고, 다음 몇 가지 경우를 확인해보자. | ||
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2. $k=2$ | 2. $k=2$ | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | & | ||
+ | =& \frac1{2^{n+1}}\text{Tr}\left[\sum_{\alpha< | ||
+ | =& | ||
+ | =& | ||
+ | \equiv& | ||
+ | \end{align*} | ||
3. $k=3$ | 3. $k=3$ | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | & | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 이들 중 $\text{Tr} S^\alpha\cdots S^\nu=1$를 만족하는 경우만 자유에너지에 기여할 수 있고, $Q_{\alpha\beta}Q_{\gamma\delta}Q_{\mu\nu}$의 모양을 가지는 항만 자유에너지에 기여할 수 있다. 이러한 경우의 수는 $4\times2=8$개이므로 실제 자유에너지에는 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \frac1{48}\cdot8\sum_{\alpha\beta\gamma}Q_{\alpha\beta}Q_{\gamma\delta}Q_{\mu\nu} = \frac16\text{Tr}\, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 만큼 기여한다.\\ | ||
4. $k=4$ | 4. $k=4$ | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | & | ||
+ | =& | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 마찬가지로 위 구속조건을 만족시키는 식의 형태는 $Q_{\alpha\beta}^4$, | ||
+ | 세 가지가 존재하고, |