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--- 물리:사다리_2차원_이징_모형 [2023/01/18 20:39] – minwoo
+++ 물리:사다리_2차원_이징_모형 [2023/09/07 07:02] (current) – minwoo
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 ====== 사다리(ladder) 위의 이징 모형 ======
 $2 \times M$ 사각 격자 상의 2차원 이징 모형을 다음과 같은 해밀토니안 $H$로 기술하자
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 $$ \\ $$
-여기서 우리는 '전달 행렬' $T_{mn}를 이용하여 분배 함수 $Z$를 행렬 간의 곱 형태로 나타내고 싶다.
+여기서 우리는 '전달 행렬' $T_{mn}$를 이용하여 분배 함수 $Z$를 행렬 간의 곱 형태로 나타내고 싶다.
 따라서, 아래와 같이 전달 행렬의 성분을 정의하자.
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 $$ Z= \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M \exp \left[ K \left(S_{m,1}S_{m+1,1} + S_{m,2}S_{m+1,2} + S_{m,1}S_{m,2} + S_{m+1,1}S_{m+1,2} \right)  \right] \\
 = \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M T_{m,m+1}(S_{m,1},S_{m,2},S_{m+1,1},S_{m+1,2}) \\
-= Tr\{\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{T}_{23} ... \boldsymbol{T}_{M-1,M}\boldsymbol{T}_{M,M+1} \} \\
+= Tr\left(\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{T}_{23} ... \boldsymbol{T}_{M-1,M}\boldsymbol{T}_{M,M+1} \right) \\
-= Tr\{\boldsymbol{T}^M \}$$
+= Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right)$$
 위의 식 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어갈 때, 대각 성분들의 합(trace, $Tr$)을 계산하는 것으로서 등식이 성립함을 이용하였으며
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 그러한 관계가 성립하는 이유를 간단히 소개하자면 다음과 같다.
-==== 대각합(trace) 계산 ====
+==== 대각합(trace) ====
 앞서 보았던 아래의 식에서
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 $$ \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}} T_{1,M}^{M-1} \ T_{M,M+1} = \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}}  T^{M-1}_{1,M} \ T_{M,1} = \sum_{\{S_{1}\}}  T^{M}_{1,1} $$
-이때, 위 식의 마지막 결과에서 $T^M _{1,1}$을 ${S_1}$에 대하여 합해주는 것은 $\boldsymbol{T^M}$의 대각합을 구하는 것이므로 $Tr\{ \boldsymbol{T^M} \}$과 같다.
+이때, 위 식의 마지막 결과에서 $T^M _{1,1}$을 ${S_1}$에 대하여 합해주는 것은 $\boldsymbol{T^M}$의 대각합을 구하는 것이므로 $Tr\left( \boldsymbol{T^M} \right) $과 같다.
 $$ \\ $$
-==== 고유값 계산 ====
+==== 고유값으로 대각합 계산 ====
 앞서 언급된 전달 행렬 정의의 수식을 이용해서
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 $$ \\ $$
-앞서 우리는 $ Z = Tr\{\boldsymbol{T}^M \}$의 결과를 얻었으므로, $\boldsymbol{T}$을
+앞서 우리는 $ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right)$의 결과를 얻었으므로, $\boldsymbol{T}$를
-대각 성분만을 갖는 대각 행렬 $D$에 대해 $\boldsymbol{T} = \boldsymbol{UDU^{-1}}$ 으로 '대각선화(대각화, diagonalization)' 해준다면
+대각 성분만을 갖는 대각 행렬 $\boldsymbol{D}$에 대해 $\boldsymbol{T} = \boldsymbol{UDU^{-1}}$ 으로 '대각선화(대각화, diagonalization)' 해준다면
 $ \boldsymbol{T}^M = \boldsymbol{U D^M U^{-1}} $이 성립한다. ($\because \boldsymbol{UU^{-1}} = \boldsymbol{U^{-1}U} = \boldsymbol{E} $, $\boldsymbol{E}$ : 단위 행렬)
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 $$ \\ $$
-즉, 대각 성분만을 갖는 행렬 $D$를 $M$번 거듭 곱셈한 결과는 $D$의 각 대각 성분들에 $M$ 거듭 제곱을 취해준 것과 같다는 성질을 이용하여
+즉, 대각 성분만을 갖는 행렬 $\boldsymbol{D}$를 $M$번 거듭 곱셈한 결과는 $\boldsymbol{D}$의 각 대각 성분들에 $M$ 거듭 제곱을 취해준 것과 같다는 성질을 이용하여
+$\boldsymbol{D^M}$을 구하면 보다 쉽게 대각합을 구할 수 있다.
+$$ \\ $$
+분배 함수 $Z$를 구하기 위한 행렬 $\boldsymbol{D}$는 (Mathematica 등의 프로그램 등을 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있으며
+{{:물리:diagonalization1.png?1000|}}
+크기가 큰 순서대로 고유값을 나열하면 다음과 같다.
+$$ \lambda_1 = \frac{1}{2} e^{-4K}(1+2e^{4K}+e^{8K}+\sqrt{1+14e^{8K}+e^{16K}}), \ \lambda_2 = -1+e^{4K}, \\
+ \lambda_3 = \frac{1}{2} e^{-4K}(1+2e^{4K}+e^{8K}-\sqrt{1+14e^{8K}+e^{16K}}), \ \lambda_4 = 1-e^{-4K} $$
+$\boldsymbol{D}$의 대각 성분들을 구했으므로, $Z =Tr(\boldsymbol{T^M}) =Tr(\boldsymbol{D^M})$의 식을 이용하여
+$$ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right) = \lambda_1^M + \lambda_2^M + \lambda_3^M + \lambda_4^M $$
+위와 같이 분배 함수 $Z$를 구할 수 있다.
+$$ \\ $$
+==== $K$가 클 때의 근사 ====
+$K$의 값이 큰 경우에는, 이러한 4가지 값 중에서 (아래와 같이) 가장 크기가 큰 $\lambda_1$과 $\lambda_2$가 $Z$ 값의 대부분을 차지하므로
+{{:물리:eigenvalue.png?350|}}
+다음과 같이 나타낼 수 있다.
-$\boldsymbol{D^M}$를 구하면 보다 쉽게 대각합을 구할 수 있다.
+$$ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right) = \lambda_1^M + \lambda_2^M + \lambda_3^M + \lambda_4^M \approx \lambda_1^M + \lambda_2^M  $$
 $$ \\ $$
-분배 함수 $Z$를 구하기 위한 행렬 $D$는 (Mathematica 등의 프로그램 등을 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있으며
+===== 참고문헌 =====
-(내용 추가 예정)
+Gun Sang Jeon, Fundamentals of Quantum Phase Transitions, 2023.
+Seung Ki Baek and Harri M¨akel¨a, Internal energy density of the critical three-state Potts model on the kagome lattice, 2013.