물리:사다리_2차원_이징_모형

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Both sides previous revision Previous revision
Next revision		 Previous revision
물리:사다리_2차원_이징_모형 [2023/01/18 22:01] – minwoo물리:사다리_2차원_이징_모형 [2023/09/07 07:02] (current) – minwoo
Line 1: Line 1:
 ====== 사다리(ladder) 위의 이징 모형 ====== ====== 사다리(ladder) 위의 이징 모형 ======
 +
 $2 \times M$ 사각 격자 상의 2차원 이징 모형을 다음과 같은 해밀토니안 $H$로 기술하자 $2 \times M$ 사각 격자 상의 2차원 이징 모형을 다음과 같은 해밀토니안 $H$로 기술하자
  
Line 57: Line 58:
 $$ Z= \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M \exp \left[ K \left(S_{m,1}S_{m+1,1} + S_{m,2}S_{m+1,2} + S_{m,1}S_{m,2} + S_{m+1,1}S_{m+1,2} \right)  \right] \\ $$ Z= \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M \exp \left[ K \left(S_{m,1}S_{m+1,1} + S_{m,2}S_{m+1,2} + S_{m,1}S_{m,2} + S_{m+1,1}S_{m+1,2} \right)  \right] \\
 = \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M T_{m,m+1}(S_{m,1},S_{m,2},S_{m+1,1},S_{m+1,2}) \\ = \sum_{\{S_{m}\}} \prod_{m=1}^M T_{m,m+1}(S_{m,1},S_{m,2},S_{m+1,1},S_{m+1,2}) \\
-= Tr\{\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{T}_{23} ... \boldsymbol{T}_{M-1,M}\boldsymbol{T}_{M,M+1} \} \\  += Tr\left(\boldsymbol{T}_{12}\boldsymbol{T}_{23} ... \boldsymbol{T}_{M-1,M}\boldsymbol{T}_{M,M+1} \right) \\  
-= Tr\{\boldsymbol{T}^M \}$$+= Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right)$$
  
 위의 식 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어갈 때, 대각 성분들의 합(trace, $Tr$)을 계산하는 것으로서 등식이 성립함을 이용하였으며 위의 식 두번째 줄에서 세번째 줄로 넘어갈 때, 대각 성분들의 합(trace, $Tr$)을 계산하는 것으로서 등식이 성립함을 이용하였으며
Line 64: Line 65:
 그러한 관계가 성립하는 이유를 간단히 소개하자면 다음과 같다. 그러한 관계가 성립하는 이유를 간단히 소개하자면 다음과 같다.
  
-==== 대각합(trace) 계산 ====+==== 대각합(trace) ====
  
 앞서 보았던 아래의 식에서 앞서 보았던 아래의 식에서
Line 95: Line 96:
 $$ \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}} T_{1,M}^{M-1} \ T_{M,M+1} = \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}}  T^{M-1}_{1,M} \ T_{M,1} = \sum_{\{S_{1}\}}  T^{M}_{1,1} $$ $$ \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}} T_{1,M}^{M-1} \ T_{M,M+1} = \sum_{\{S_{1}\}} \sum_{\{S_{M}\}}  T^{M-1}_{1,M} \ T_{M,1} = \sum_{\{S_{1}\}}  T^{M}_{1,1} $$
  
-이때, 위 식의 마지막 결과에서 $T^M _{1,1}$을 ${S_1}$에 대하여 합해주는 것은 $\boldsymbol{T^M}$의 대각합을 구하는 것이므로 $Tr\{ \boldsymbol{T^M} \}$과 같다.+이때, 위 식의 마지막 결과에서 $T^M _{1,1}$을 ${S_1}$에 대하여 합해주는 것은 $\boldsymbol{T^M}$의 대각합을 구하는 것이므로 $Tr\left( \boldsymbol{T^M} \right) $과 같다.
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-==== 고유값 계산 ====+==== 고유값으로 대각합 계산 ====
  
 앞서 언급된 전달 행렬 정의의 수식을 이용해서 앞서 언급된 전달 행렬 정의의 수식을 이용해서
Line 119: Line 120:
  
 $$ \\ $$ $$ \\ $$
-앞서 우리는 $ Z = Tr\{\boldsymbol{T}^M \}$의 결과를 얻었으므로, $\boldsymbol{T}$를+앞서 우리는 $ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right)$의 결과를 얻었으므로, $\boldsymbol{T}$를
  
 대각 성분만을 갖는 대각 행렬 $\boldsymbol{D}$에 대해 $\boldsymbol{T} = \boldsymbol{UDU^{-1}}$ 으로 '대각선화(대각화, diagonalization)' 해준다면 대각 성분만을 갖는 대각 행렬 $\boldsymbol{D}$에 대해 $\boldsymbol{T} = \boldsymbol{UDU^{-1}}$ 으로 '대각선화(대각화, diagonalization)' 해준다면
Line 142: Line 143:
 분배 함수 $Z$를 구하기 위한 행렬 $\boldsymbol{D}$는 (Mathematica 등의 프로그램 등을 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있으며 분배 함수 $Z$를 구하기 위한 행렬 $\boldsymbol{D}$는 (Mathematica 등의 프로그램 등을 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있으며
  
-(내용 추가 예정)+{{:물리:diagonalization1.png?1000|}} 
 + 
 +크기가 큰 순서대로 고유값을 나열하면 다음과 같다. 
 + 
 +$$ \lambda_1 = \frac{1}{2} e^{-4K}(1+2e^{4K}+e^{8K}+\sqrt{1+14e^{8K}+e^{16K}}), \ \lambda_2 = -1+e^{4K}, \\ 
 + \lambda_3 = \frac{1}{2} e^{-4K}(1+2e^{4K}+e^{8K}-\sqrt{1+14e^{8K}+e^{16K}}), \ \lambda_4 = 1-e^{-4K} $$ 
 + 
 +$\boldsymbol{D}$의 대각 성분들을 구했으므로, $Z =Tr(\boldsymbol{T^M}) =Tr(\boldsymbol{D^M})$의 식을 이용하여 
 + 
 +$$ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right) = \lambda_1^M + \lambda_2^M + \lambda_3^M + \lambda_4^M $$ 
 + 
 +위와 같이 분배 함수 $Z$를 구할 수 있다. 
 + 
 +$$ \\ $$ 
 + 
 +==== $K$가 클 때의 근사 ==== 
 + 
 +$K$의 값이 큰 경우에는, 이러한 4가지 값 중에서 (아래와 같이) 가장 크기가 큰 $\lambda_1$과 $\lambda_2$가 $Z$ 값의 대부분을 차지하므로 
 + 
 +{{:물리:eigenvalue.png?350|}} 
 + 
 +다음과 같이 나타낼 수 있다. 
 + 
 +$$ Z = Tr\left(\boldsymbol{T}^M \right) = \lambda_1^M + \lambda_2^M + \lambda_3^M + \lambda_4^M \approx \lambda_1^M + \lambda_2^M  $$ 
 + 
 +$$ \\ $$ 
 +===== 참고문헌 ===== 
 + 
 +Gun Sang Jeon, Fundamentals of Quantum Phase Transitions, 2023.
  
 +Seung Ki Baek and Harri M¨akel¨a, Internal energy density of the critical three-state Potts model on the kagome lattice, 2013.
  • 물리/사다리_2차원_이징_모형.1674046903.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
  • (external edit)