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개요
고체의 비열을 설명하기 위해 아인슈타인이 제시한 모형이다. 상온에서 고체의 원자당 비열은 뒬롱-프티 법칙인
$$ C = 3k_B~\text{(1 원자당)}$$ 혹은 $$ C = 3R $$
을 따르는 것으로 알려져 있었다. 여기서 $k_B$는 볼츠만 상수, $R$은 이상기체 상수를 의미한다.
물질 | $C/R$ |
---|---|
알루미늄(Al) | 2.91 |
안티모니(Sb) | 3.03 |
구리(Cu) | 2.94 |
금(Au) | 3.05 |
은(Silver) | 2.99 |
다이아몬드(C) | 0.735 |
볼츠만은 1986년에 고전적인 통계역학의 에너지 등분배 정리를 사용한 모형으로 뒬롱-프티 법칙을 설명하였다. 하지만 고체의 1 원자당 비열이 상온보다 훨씬 낮은 온도에서는 뒬롱-프티 법칙을 따르지 않는다는 것이 알려져 있어 이것을 설명하기 위해 아인슈타인이 제시한 모형을 '아인슈타인 모형'이라 부른다.
모형의 형태
아인슈타인의 기본적인 생각은 어느 하나의 원자가 자신과 이웃한 원자와 상호작용을 하면서 조화 운동을 할 것이라는 볼츠만의 생각과 비슷했다. 그는 여기서 더 나아가 모든 원자들이 동일한 조화 진동자 우물(퍼텐셜)에 갇혀 있고 이 때의 진동수를 $\omega$라고 가정하였다.
1차원애서 하나의 조화 진동자의 에너지 고유값은
$$ E_n = \hbar\omega(n+1/2) $$
이다. 이 때 분배함수를 계산해보면
(편집 예정)