고체의 비열을 설명하기 위해 아인슈타인이 제시한 모형이다. 상온에서 고체의 원자당 비열은 뒬롱-프티 법칙인

$$ C = 3k_B~\text{(1 원자당)}$$ 혹은 $$ C = 3R $$

을 따르는 것으로 알려져 있었다. 여기서 $k_B$는 볼츠만 상수, $R$은 이상기체 상수를 의미한다.

볼츠만은 1896년에 고전적인 통계역학의 에너지 등분배 정리를 사용한 모형으로 뒬롱-프티 법칙을 설명하였다. 하지만 고체의 1 원자당 비열이 상온보다 훨씬 낮은 온도에서는 뒬롱-프티 법칙을 따르지 않는다는 것이 알려져 있어 이것을 설명하기 위해 아인슈타인이 제시한 모형을 '아인슈타인 모형'이라 부른다.

아인슈타인의 기본적인 생각은 어느 하나의 원자가 자신과 이웃한 원자와 상호작용을 하면서 조화 운동을 할 것이라는 볼츠만의 생각과 비슷했다. 그는 여기서 더 나아가 모든 원자들이 동일한 조화 진동자 우물(퍼텐셜)에 갇혀 있고 이 때의 진동수를 $\omega$라고 가정하였다. 1차원에서 조화 진동자 하나의 에너지 고유값은

$$ E_n = \hbar\omega(n+1/2) $$

이다. 이 때 분배함수는

\begin{align*} Z_{1D} &= \sum_{n\geq0}e^{-\beta\hbar\omega(n+1/2)} \\ \\ &= \frac{e^{-\beta\hbar\omega/2}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}} \\ \\ &=\frac{1}{e^{\beta\hbar\omega/2}-e^{-\beta\hbar\omega/2}} \\ \\ &= \frac{1}{2\sinh(\beta\hbar\omega/2)} \end{align*}

이고 평균 에너지는

\begin{align*} \langle E \rangle &= -\frac{1}{Z_{1D}}\frac{\partial Z_{1D}}{\partial\beta} \\ \\ &= 2\sinh(\beta\hbar\omega/2)\frac{1}{2}\left[\sinh(\beta\hbar\omega/2)\right]^{-3/2}\cosh(\beta\hbar\omega/2)\frac{\hbar\omega}{2} \\ \\ &=\frac{\hbar\omega}{2}\coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right) \\ \\ &=\frac{\hbar\omega}{2}\frac{e^{\beta\hbar\omega/2} + e^{-\beta\hbar\omega/2}}{e^{\beta\hbar\omega/2} - e^{-\beta\hbar\omega/2}} \\ \\ &=\frac{\hbar\omega}{2}\frac{e^{\beta\hbar\omega} + 1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1} \\ \\ &=\frac{\hbar\omega}{2}\left[ \frac{2 + e^{\beta\hbar\omega} - 1}{e^{\beta\hbar\omega} - 1} \right] \\ \\ &=\hbar\omega\left( n_{B}(\beta\hbar\omega) + 1/2 \right) \end{align*}

이 된다. 여기서 $n_B$는 보즈 점유 인자이며

$$ n_B(x) = \frac{1}{e^x-1} $$

이다.