물리:양자기체의_밀도행렬

Differences

This shows you the differences between two versions of the page.

Link to this comparison view

Next revision		 Previous revision
물리:양자기체의_밀도행렬 [2021/03/09 17:29] – created yong물리:양자기체의_밀도행렬 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
Line 1: Line 1:
-To be added... (~03.14) +====== 개요 ====== 
 +이상적인 양자 기체들은 다음과 같은 방정식을 만족한다. 
 +\begin{align} 
 +    -\partial\rho / \partial\beta = H\rho 
 +\end{align} 
 +이 관계식의 증명은 간단하다. 먼저 양자역학에서 밀도행렬을 통계학적 형태로 기술하면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho(\beta) = \frac{e^{-\beta H_i}}{\sum_i e^{-\beta H_i}} 
 +    = \frac{e^{-\beta H}}{\text{Tr}\left[ e^{-\beta H} \right]} 
 +\end{align} 
 + 
 +이 때 분자는 규격화되지 않은(unnormalized) $\rho$ 이며 다음과 같이 정의한다. 
 +\begin{align} 
 +    \rho_{U} (\beta) = e^{-\beta H} 
 +\end{align} 
 +$\rho_{U}$의 식을 시간에 독립하는 슈뢰딩거 방정식에 따라 에너지 표현으로 바꿔서 쓰면, 
 +\begin{align} 
 +    \rho_{ij} = \delta_{ij}e^{-\beta E_{i}} 
 +\end{align} 
 +이 $\rho$를 양변에 $\beta$ 으로 미분하면, 
 +\begin{align} 
 +    -\partial\rho_{ij} / \partial\beta = \delta_{ij}E_{i}e^{-\beta E_{i}} = E_{i}\rho_{ij} = H\rho_{ij} 
 +\end{align} 
 +따라서 관계식이 성립한다. 그리고 관계식을 만족하는 특수해는 다음과 같이 주어진다.  
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, \cdots, x_N;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, \cdots, x^{\prime}_N; \beta \right) 
 +    = \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3N/2} 
 +    \exp\left[-\frac{m}{2\hbar^2\beta}\sum_{k}\left(x_k - x^{\prime}_k\right)^2\right] 
 +\end{align} 
 +입자들이 서로간 상호작용하는 경우 보다 일반적인 형태로는 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, \cdots, x_N;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, \cdots, x^{\prime}_N; \beta \right) 
 +    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, \cdots, x_N\right)\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, \cdots, x^{\prime}_N\right) 
 +\end{align} 
 +으로 쓸 수 있다. 여기서 $\rho_D$ 는 구분할수 있는 (distinguishable) 밀도행렬으로 이를 이용하여  
 +대칭적인 (symmetric) 밀도행렬 $\rho_S$ 과 반대칭적인 (antisymmetric) 밀도행렬 $\rho_A$ 를 구성할 것이다. 
 + 
 +====== 순열군 ====== 
 +입자간 상호작용을 세는 방법으로 순열군을 이용해보자. 예를들어 임의의 집합 $P = \{1,2,3,4\}$  
 +가 아래와 같은 순열을 이룬다고 가정하자. 
 +\begin{align} 
 +    \begin{pmatrix} 
 +        1 & 2 & 3 & 4 \\ 
 +        \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 
 +        2 & 4 & 3 & 1 
 +    \end{pmatrix} 
 +\end{align} 
 +묶이는 순서에 맞게 배치하면 
 +\begin{align} 
 +    \begin{pmatrix} 
 +        1 & 2 & 4 & 3 \\ 
 +        \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 
 +        2 & 4 & 1 & 3 
 +    \end{pmatrix} 
 +\end{align} 
 +따라서 지금의 순열은  
 +$(\cdots\rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow \cdots) \,,  
 +(\cdots \rightarrow 3 \rightarrow \cdots)$ 이라는 것을 확인할 수 있다. 1이 2를 따르고, 2가 4를 따르며, 
 +4는 다시 1을 따른다. 그리고 3은 자기자신만을 향하고 있다. 그러므로 이를 나타내는 새로운 표기법을 
 +사용하자. 1이 2를 향하는 상황에 대해 
 +\begin{align} 
 +    Px_1 = x_2 
 +\end{align} 
 +으로 기술한다면, 보다 일반적인 상황에서는 
 +\begin{align} 
 +    \psi_i(Px_k) = \psi_i(x_k) 
 +\end{align} 
 +으로 나타낼 수 있다. 다음으로 순열군에 대한 길이, 그리고 그 길이에 대한 개수를 세어볼 수 있다. 이를테면 
 +지금과 같은 상황에서는, (1,2,4)(3) 으로 묶이는 데, 이 경우에는 길이가 1인 사이클 1개, 길이가 
 +3인 사이클이 1개 있다. 이를 일반화하면, N 개의 모든 경우가 있을 때, 길이가 $\nu$ 인 사이클의 개수  
 +$C_\nu$ 를 생각할 수 있다. 그리고 $\sum_\nu \nu C_\nu = N$ 를 만족한다. 
 + 
 +====== 보즈 입자에 대한 분배함수 ====== 
 +===== 서로 상호작용하여 구분되는 경우 ===== 
 +상호작용하는 입자가 보즈 이인슈타인 통계를 따른다고 생각해보자. 입자가 보즈 통계를 따르는 경우,  
 +대칭적이라는 특징을 가지고 있다. 이것에 대한 분배함수를 구축하기 위해서, 밀도행렬을 먼저 구해야 한다.  
 +대칭적인 밀도행렬을 구하기 위해서는 앞에서 구성한 $\rho_D$ 를 대칭성만을 고려하여  
 +$\rho_S$ 를 계산한다. $\rho_S$ 는 다음과 같이 계산된다. 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_S \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; x^{\prime}_1, \cdots, x^{\prime}_k, \cdots, x^{\prime}_N \right) 
 +    = \frac{1}{N!}\sum_P\rho_D \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; Px^{\prime}_1, \cdots, Px^{\prime}_k, \cdots, Px^{\prime}_N \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이것을 정당화하는 가장 쉬운 경우로 N=2 인 경우를 생각해보자. $\rho_D$ 의 식으로부터 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) 
 +    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right)\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) 
 +\end{align} 
 + 
 +하지만 $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ 를 뒤집는 경우도 생각해볼 수 있으므로 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right) 
 +    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right)\psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이것이 N=2 일 때 셀 수 있는 모든 경우이다. 이제 평균을 취하게 되면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) + 
 +     \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right] 
 +    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right) 
 +    \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)\right] 
 +\end{align} 
 + 
 +이 때 $\psi^{*}$ 가 대칭성을 만족하는 경우는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)\right] 
 +    = \psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이며 따라서 식은 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) + 
 +     \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right] 
 +    = \sum_{\text{symmetric states only}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right) 
 +    \psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 정리가 된다. 그러므로 이를 순열군에 맞춰서 경우를 나누게 되면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{N!}\sum_P\psi\left(Px_1, \cdots, Px_k, \cdots, Px_N \right) = 
 +    \begin{cases} 
 +        \psi(x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N) \qquad &\text{대칭인 경우}\\ 
 +        0 \qquad &\text{다른 대칭성을 가지는 경우} 
 +    \end{cases} 
 +\end{align} 
 + 
 +이고 이를 $\rho_D$ 에 대응하면 $\rho_S$ 를 얻게된다. 따라서 보즈 통계를 따르는 입자들의 
 +밀도행렬로 구성된 분배함수는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F_S} = \int \rho_S dx_1 \cdots dx_N 
 +    = \frac{1}{N!} \sum_P \int \rho_D dx_1 \cdots dx_N 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 계산된다. 이 때 $F_S$ 는 대칭적인 경우에 대한 헬름홀츠 자유에너지이다. 
 +===== 상호작용하지 않는 보즈 기체 ===== 
 +상호작용하지 않는 경우에는 우리가 놓은 순열에 대해 수정할 필요가 있다. 먼저 앞에서 적어둔 $\rho_D$의 
 +특수해와 $\rho_S$ 를 대응시키면 분배함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.  
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F_S} =  
 +    \frac{1}{N!} \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3N/2} \sum_P 
 +    \int_V \exp \left\{ -\frac{m}{2\hbar^2\beta}\left[\left(x_1 - Px_1\right)^2 + 
 +    \cdots + \left(x_k - Px_k\right)^2 + \cdots + \left(x_N - Px_N\right)^2 \right] \right\} dx_1 \cdots dx_N 
 +\end{align} 
 + 
 +여기서 순열들이 순열군에서 설명한, 모든 N개의 경우가 특정 순열 길이에 대한 사이클로 가정하자. 
 +식을 간편하게 만들기 위해 아래와 같이 $h_\nu$ 라는 항을 끄집어서 보자. 
 + 
 +\begin{align} 
 +    h_\nu &= \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3\nu/2} 
 +    \int dx_1 dx_2 \cdots dx_\nu \exp \left\{ -\frac{m}{2\hbar^2\beta}\left[ \left(x_1 - x_2\right)^2 + 
 +    \left(x_2 - x_3\right)^2 + \cdots + \left(x_{\nu-1} - x_\nu\right)^2 + \left(x_\nu - x_1\right)^2 \right] \right\} \\ 
 +    &= V\left( \frac{m}{2\pi\hbar^2\beta\nu} \right)^{3/2} 
 +\end{align} 
 + 
 +$h_\nu$ 항을 이용하여 분배함수를 다시 쓰면 아래와 같은 간단한 식으로 정리된다. 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F_S} = \frac{1}{N!}\sum_P\left( \prod_\nu \left(h_\nu\right)^{C_\nu} \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이제 $\sum_P$ 를 생각해보도록 하자. 모든 가능한 순열들의 수를 $M(C_1, \cdots, C_q)$ 으로 표현하도록 하자. 
 +예를 들어 순열군 항목에서 예시로 든, $N=4, C_1 = 1, C_3 = 1, C_2 = C_4 = 0$ 인 순열 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \begin{pmatrix} 
 +        1 & 2 & 4 & 3 \\ 
 +        \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 
 +        2 & 4 & 1 & 3 
 +    \end{pmatrix} 
 +\end{align} 
 + 
 +의 경우에는 1열을 기준으로 $(1,2,4)(3)$ 이라는 수열로 위와 같은 순열을 만들 수 있다. 하지만 다르게 생각하면, 
 +$(2,4,1)(3)$ 과 같은 수열도 동일한 순열을 만들 수 있고, $(4,1,2)(3)$과 같은 경우에도 동일한 순열을 
 +만들 수 있다. 이번에는 여기서 길이가 1인 순열, 즉 $(\cdots \rightarrow 5 \rightarrow \cdots)$ 가 추가되어 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \begin{pmatrix} 
 +        1 & 2 & 4 & 3 & 5\\ 
 +        \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 
 +        2 & 4 & 1 & 3 & 5 
 +    \end{pmatrix} 
 +\end{align} 
 + 
 +이라는 순열군을 생각해보자. 마찬가지로 이 경우에는 $(1,2,4)(3)(5)$ 이라는 수열과, 앞의 방법대로 길이가 3인 
 +수열의 순서만을 동일하게 하여 같은 순열을 만들 수 있다. 하지만 여기에 추가하여, 인접한 사이클의 길이가 같은 것을 바꾸는, 이를테면  
 +$(1,2,4)(5)(3)$ 도 동일한 수열을 만들 수 있다. 왜냐하면 우리는 서로 상호작용하지 않는, 구분불가능한 보즈 입자의 경우를 생각하기 때문이다.  
 +지금의 경우에서 모든 가능한 수열의 수를 계산하면, $3 \times 2! = 6$ 이 된다. 
 + 
 +일반화를 위해 정리하면, 
 +  - 같은 길이를 가진 사이클끼리는 서로 바꿀 수 있다. 
 +  - 주어진 사이클 안에서는 순환되는 순열을 만들 수 있다. 
 + 
 +첫 번째 경우에는 $\prod_\nu C_\nu!$ 만큼의 방법을 생각할 수 있을 것이고, 두 번째 경우에는 
 +$\prod_\nu \nu^{C_\nu}$ 이 될 것이다. 아무런 조건 없이 만들 수 있는 수열의 수는 N!이므로 
 +M은 
 + 
 +\begin{align} 
 +    M(C_1, \cdots, C_q) = \frac{N!}{\prod_\nu C_\nu! \nu^{C_\nu}} 
 +\end{align} 
 + 
 +이고 분배함수에 대응하면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F_S} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} 
 +\end{align} 
 + 
 +===== 큰 바른틀 모둠에 대응 ===== 
 +얻어낸 분배함수를 직접 계산하는 것은 약간 복잡해보인다. 따라서 우리는 N을 변수로 바꿔서  
 +큰 바른틀 모둠 (grand canonical ensemble) 에서의 자유에너지를 찾을 것이다. 큰 바른틀 모둠에서 
 +분배함수는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \mathcal{Z}\left(\mu, V, T\right) = e^{-\beta F} 
 +    = \sum_{N=1}^\infty \exp{\left(\frac{N\mu - F_N}{k_BT}\right)} 
 +    = \sum_{N=1}^\infty e^{-\beta F_N} e^{+N\mu\beta} 
 +\end{align} 
 + 
 +이다. 이 때 큰분배함수의 퓨가시티 (fugacity) $\alpha = e^{+\mu\beta}$ 으로 두고, $e^{-\beta F_s}$ 를 분배함수의 $e^{-\beta F_N}$ 에 대입하면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} \alpha^{\nu C_\nu} 
 +\end{align} 
 + 
 +이고, 사이클의 수 $C_q$ 가 0부터 무한대까지 진행할 것이다. (즉, $C_1$ 가 0부터 $\infty$, $C_2$ 가 0부터 $\infty$, ... 
 +그리고 $C_q$ 가 0부터 $\infty$ 까지 더해진다.) 그러므로 합기호와 곱기호의 계산순서를 바꿀 수 있고 분배함수가 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F} &= \prod_\nu \sum_{C_\nu}^{\infty}\frac{1}{C_\nu!}\left[h_\nu \alpha^{\nu}/ \nu\right]^{C_\nu} \\ 
 +    &= \prod_\nu \exp \left( h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right) \\ 
 +    &= \exp \left( \sum_\nu^\infty h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 결정된다. 이제 양변에 로그를 취해서 자유에너지에 대한 항을 계산하면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \beta F = - \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{h_\nu \alpha^\nu}{\nu}  
 +    = -\left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3/2}V \sum_\nu \frac{\alpha^\nu}{\nu^{5/2}} 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 얻어진다. 
 + 
 +====== 페르미 입자에 대한 분배함수 ====== 
 +===== 서로 상호작용하여 구분되는 경우 ===== 
 +이번에는 페르미 디락 통계를 따르는 입자에 대해서 생각해보자. 입자가 페르미 통계를 따르는 경우, 
 +반대칭적이라는 특징을 가지고 있다. 이것에 대한 분배함수를 구축하기 위해서, 밀도행렬을 먼저 구해야 한다.  
 +반대칭적인 밀도행렬을 구하기 위해서는 앞에서 구성한 $\rho_D$ 를 반대칭성만을 고려하여  
 +$\rho_A$ 를 계산한다. $\rho_A$ 는 다음과 같이 계산된다. 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_A \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; x^{\prime}_1, \cdots, x^{\prime}_k, \cdots, x^{\prime}_N \right) \\ 
 +    = \frac{1}{N!}\sum_P \left(-1\right)^P \rho_D \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; Px^{\prime}_1, \cdots, Px^{\prime}_k, \cdots, Px^{\prime}_N \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +$\rho_S$ 와 비교하면 $\left(-1\right)^P$ 이라는 항이 추가되었다. 이 때 $\left(-1\right)^P$는 
 +순열의 홀짝에 따라 값이 변하며, 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \left(-1\right)^P 
 +    \begin{cases} 
 +        1 \quad &\text{짝수 순열} \\ 
 +        -1 \quad &\text{홀수 순열} 
 +    \end{cases} 
 +\end{align} 
 + 
 +이렇게 되는 이유를 N=2와 N=3인 경우를 살펴보도록 하자. 
 + 
 +==== Example: N=2인 경우 ==== 
 +앞에서 N=2 일 때 셀 수 있는 모든 경우에, 평균을 취한 것에서 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) + 
 +     \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right] 
 +    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right) 
 +    \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)\right] 
 +\end{align} 
 + 
 +이 때 $\psi^{*}$ 가 반대칭성을 만족하는 경우는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right)\right] 
 +    = 0 
 +\end{align} 
 + 
 +다시말해 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \psi^{*}\left(x^{\prime}_2, x^{\prime}_1\right) 
 +    = - \psi^{*}\left(x^{\prime}_1, x^{\prime}_2\right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이며 따라서 식은 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) + 
 +     \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right] 
 +    = 0 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 정리가 되고 좌변을 만족하기 위해 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) = 
 +    - \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이 되어야 하며, 처음에 나타냈던 식으로는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_A \left( x_1, x_2; x^{\prime}_1, x^{\prime}_2 \right) 
 +    &= \frac{1}{2!}\sum_P \left(-1\right)^P \rho_D \left( x_1, x_2; Px^{\prime}_1, Px^{\prime}_2 \right) \\ 
 +    &= \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) 
 +    + \rho_D \left(x_1, x_2;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right)\right] 
 +\end{align} 
 + 
 +==== Example: N=3 인 경우 ==== 
 +3개의 경우도 생각해보자. 즉 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right) 
 +    = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_{i}\left(x_1, x_2, x_3\right) 
 +    \psi_{i}^{*}\left( Px^{\prime}_1, Px^{\prime}_2, Px^{\prime}_3 \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이 경우에는 가능한 다른 모든 경우는, 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right) \quad 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1; \beta \right) \quad 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) \\ 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2; \beta \right) \quad 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right) \quad 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3; \beta \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +이며 우변의 $\psi_{i}^{*}$ 도 6가지 경우가 있다. 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3 \right) \quad 
 +    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1 \right) \quad 
 +    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2 \right) \\ 
 +    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2 \right) \quad 
 +    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1 \right) \quad 
 +    \psi_{i}^{*}\left( x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3 \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +앞에서 N=2 인 경우에서와 마찬가지로 반대칭의 특징에 따라 모두 더하면 0이 된다. 따라서 좌변만 남게되며 
 +식을 정리하면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    &\frac{1}{6} [ 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right) 
 +    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1; \beta \right) 
 +    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) \\ 
 +    &+ \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2; \beta \right) 
 +    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right) 
 +    + \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3; \beta \right) 
 +    ] = 0  
 +\end{align} 
 + 
 +이다. 이 경우에는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3; \beta \right) 
 +    = -\rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2; \beta \right) \\ 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1; \beta \right) 
 +    = -\rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3; \beta \right) \\ 
 +    \rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2; \beta \right) 
 +    = -\rho_D \left(x_1, x_2, x_3;x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1; \beta \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +가 되어야 식이 만족된다. 마찬가지로 3개의 경우도 식으로 나타내면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \rho_A \left( x_1, x_2, x_3; x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3 \right) 
 +    = \frac{1}{3!}\sum_P \left(-1\right)^P \rho_D \left( x_1, x_2, x_3; Px^{\prime}_1, Px^{\prime}_2, 
 +    Px^{\prime}_3 \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +따라서 일반적인 경우에는 처음에 나타낸 것과 같이 쓸 수 있게 된다. 그리고 만약 N 개의 경우 모든 항을 살펴보자 하는 경우, 
 +[[수학:슬레이터 행렬식]] 으로 일반화해서 나타낼 수 있다. 
 + 
 +===== 이후 계산들 ===== 
 +이후 계산은 보즈 기체에서 보였던 계산과 유사하다. 먼저 적분항에 대한 계산을 해주면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F_A} = \frac{1}{N!}\sum_P \left(-1\right)^P \left( \prod_\nu \left(h_\nu\right)^{C_\nu} \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 식을 나타낼 수 있다. 이제 생각해야 할 것은 페르미 기체에서 $\sum_P$ 이다. 여기서는 추가적으로 
 +$\left(-1\right)^P$ 이라는 항이 들어갔기 때문에, 이것을 어떻게 바꿀 지 생각해보도록 하자. 먼저 
 +앞의 N=3 예시에서, 6가지의 항을 사이클의 길이에 맞춰서 표를 만들면 다음과 같다. 
 + 
 + 
 + 
 +| $Px_1, Px_2, Px_3$ | Cycles  | $\rho_A$와 같은 경우  | 부호 결정  | 
 +|:---:|:---:|:---:|:---:| 
 +| $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$ | (1)(2)(3) | $-x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$ | + | 
 +| $x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$ | (1)(32) | $-x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$ | - | 
 +| $x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3$ | (21)(3) | $-x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1$ | - | 
 +| $x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1$ | (231) | $-x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3$ | + | 
 +| $x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1$ | (13)(2) | $-x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ | - | 
 +| $x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ | (312) | $-x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1$ | + | 
 + 
 +예를들어 $Px_1, Px_2, Px_3$가 각각 $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$, $x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$  
 +와 같은 상황에서, 두 경우는 서로 반대칭 관계를 만족하므로 더하면 0이 되어야 한다. 그리고 사이클의 관점에서 바라볼 때,  
 +첫 번째 경우,  
 + 
 +\begin{align} 
 +    \left( \cdots \rightarrow 1 \rightarrow \cdots \right), 
 +    \left( \cdots \rightarrow 2 \rightarrow \cdots \right), 
 +    \left( \cdots \rightarrow 3 \rightarrow \cdots \right)     
 +\end{align} 
 + 
 +의 사이클이고, 두 번째 경우,  
 +  
 +\begin{align} 
 +    \left( \cdots \rightarrow 1 \rightarrow \cdots \right), 
 +    \left( \cdots \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow \cdots \right)       
 +\end{align} 
 + 
 +의 사이클을 형성하고 있다. 정리되는 뒷항과 같이 무한곱 표현으로 나타내고, 반대칭성을 만족하기 위해서는 
 +다음과 같이 조건을 만족하면 된다. 먼저, 사이클의 길이가 홀수인 경우에는, 양의 부호 $(+)$ 를 가져야 하며,  
 +짝수인 경우에는, 음의 부호 $(-)$ 를 가지면 된다. 예시로 들었던 경우에 대해서는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    &C_1C_1C_1 \rightarrow (+)(+)(+) \rightarrow (+) \\ 
 +    &C_1C_2 \rightarrow (+)(-) \rightarrow (-) 
 +\end{align} 
 + 
 +이렇게 부호가 결정이 된다. N=3 에 대해 정리한 표가 위와 같으며, 이를 사이클의 길이가 $C_q$ 까지 나타나는 
 +N의 경우에 대해 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}  
 +\end{align} 
 + 
 +을 만족하면 된다. 이 때 대괄호 지수 항으로 $C_\nu$ 가 붙는 것은, 예를 들어 형성되는 사이클의 블럭이 
 +$C_1C_2C_2$ 이면, 부호가 $(+)$ 를 만족해야 하기 때문이다. 따라서 반대칭성을 만족하는 경우의 분배함수는 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F_A} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}  
 +    \frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 결정이 된다. 보즈 기체와 마찬가지로 직접 계산하는 것은 복잡하기에 이를 큰 바른틀 모둠에서의 
 +분배함수에 대응하여 나타내면, 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} \alpha^{\nu C_\nu} 
 +\end{align} 
 + 
 +이고 마찬가지로 합기호와 곱기호를 서로 바꾸면 
 + 
 +\begin{align} 
 +    e^{-\beta F} &= \prod_\nu\sum_{C_\nu}^{\infty} \frac{1}{C_\nu!}  
 +    \left[ (-1)^{\nu+1} \frac{h_\nu \alpha^{\nu}}{\nu} \right]^{C_\nu} 
 +\end{align} 
 + 
 +이 때 $C_\nu$ 가 짝수인 경우, 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \prod_\nu \exp \left( (-1)^{\nu+1} h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +$C_\nu$ 가 홀수인 경우, 
 + 
 +\begin{align} 
 +    \prod_\nu \exp \left( (-1)^{\nu} h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right) 
 +\end{align} 
 + 
 +으로 결정된다. 
 + 
 +====== 참고문헌 ====== 
 +  * Richard P. Feynman, //Statistical Mechanics: A set of lectures// (CRC Press, 1998). 
 +  * Wikipedia (en) //Antisymmetrizer// [[https://en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetrizer]] 
 +  * J.J. Sakurai, //Modern Quantum Mechanics//, 3.4 - Quantum Statistical Mechanics (Cambridge University Press)
  • 물리/양자기체의_밀도행렬.1615278587.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
  • (external edit)