물리:양자기체의_밀도행렬

This is an old revision of the document!


To be added… (~03.14)

개요

이상적인 양자 기체들이 다음과 같은 방정식을 만족한다. \begin{align} -\partial\rho / \partial\beta = H\rho \end{align} 이 관계식의 증명은 간단하다. 먼저 밀도행렬을 분배함수의 $\beta$의 함수로 간주하자. \begin{align} \rho(\beta) = e^{-\beta H} / \text{Tr}e^{-\beta H} \end{align} 이 때 분자는 규격화되지 않은(unnormalized) $\rho$ 이며 다음과 같이 정의한다. \begin{align} \rho_{U} (\beta) = e^{-\beta H} \end{align} $\rho_{U}$의 식을 시간에 독립하는 슈뢰딩거 방정식에 따라 에너지 표현으로 바꿔서 쓰면, \begin{align} \rho_{ij} = \delta_{ij}e^{-\beta E_{i}} \end{align} 이 $\rho$를 양변에 $\beta$ 으로 미분하면, \begin{align} -\partial\rho_{ij} / \partial\beta = \delta_{ij}E_{i}e^{-\beta E_{i}} = E_{i}\rho_{ij} = H\rho_{ij} \end{align} 따라서 관계식이 성립한다. 그리고 관계식을 만족하는 특수해는 다음과 같이 주어진다. \begin{align} \rho_D \left(x_1, x_2, \cdots, x_N;x^{'}_1, x^{'}_2, \cdots, x^{'}_N; \beta \right) = \left(\frac{m}{2\pi\hbar^2\beta}\right)^{3N/2} \exp\left[-\frac{m}{2\hbar^2\beta}\sum_{k}\left(x_k - x^{'}_k\right)^2\right] \end{align} 입자들이 서로간 상호작용하는 경우 보다 일반적인 형태로는 \begin{align} \rho_D \left(x_1, x_2, \cdots, x_N;x^{'}_1, x^{'}_2, \cdots, x^{'}_N; \beta \right) = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, \cdots, x_N\right)\psi^{*}\left(x^{'}_1, \cdots, x^{'}_N\right) \end{align} 으로 쓸 수 있다. 여기서 $\rho_D$ 는 구분할수 있는 (distinguishable) 밀도행렬으로 이를 이용하여 대칭적인 (symmetric) 밀도행렬 $\rho_S$ 과 반대칭적인 (antisymmetric) 밀도행렬 $\rho_A$ 를 구성할 것이다.

순열군

입자간 상호작용을 세는 방법으로 순열군을 이용해보자. 예를들어 임의의 집합 $P = \{1,2,3,4\}$ 가 아래와 같은 순열을 이룬다고 가정하자. \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 2 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} \end{align} 묶이는 순서에 맞게 배치하면 \begin{align} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 & 3 \\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ 2 & 4 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align} 따라서 지금의 순열은 $(\cdots\rightarrow 1 \rightarrow 2 \rightarrow 4 \rightarrow \cdots) \,, (\cdots \rightarrow 3 \rightarrow \cdots)$ 이라는 것을 확인할 수 있다. 1이 2를 따르고, 2가 4를 따르며, 4는 다시 1을 따른다. 그리고 3은 자기자신만을 향하고 있다. 그러므로 이를 나타내는 새로운 표기법을 사용하자. 1이 2를 향하는 상황에 대해 \begin{align} Px_1 = x_2 \end{align} 으로 기술한다면, 보다 일반적인 상황에서는 \begin{align} \psi_i(Px_k) = \psi_i(x_k) \end{align} 으로 나타낼 수 있다.

보존 입자에 대한 분배함수

보즈 아인슈타인 통계를 따르는 입자들은 대칭적이라는 특징을 가지고 있다. 이것에 대한 분배함수를 구축하기 위해서, 밀도행렬을 먼저 구해야 한다. 대칭적인 밀도행렬을 구하기 위해서는 앞에서 구성한 $\rho_D$ 를 대칭성만을 고려하여 계산된다. $\rho_D$ 를 이용한 $\rho_S$ 는 다음과 같이 만들어진다.

\begin{align} \rho_S \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; x^{'}_1, \cdots, x^{'}_k, \cdots, x^{'}_N \right) \\ = \frac{1}{N!}\sum_P\rho_D \left( x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N; Px^{'}_1, \cdots, Px^{'}_k, \cdots, Px^{'}_N \right) \end{align}

이것을 정당화하는 가장 쉬운 경우로 N=2 인 경우를 생각해보자. $\rho_D$ 의 식으로부터

\begin{align} \rho_D \left(x_1, x_2;x^{'}_1, x^{'}_2; \beta \right) = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right)\psi^{*}\left(x^{'}_1, x^{'}_2\right) \end{align}

하지만 $x^{'}_1, x^{'}_2$ 를 뒤집는 경우도 생각해볼 수 있으므로

\begin{align} \rho_D \left(x_1, x_2;x^{'}_2, x^{'}_1; \beta \right) = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right)\psi^{*}\left(x^{'}_2, x^{'}_1\right) \end{align}

이것이 N=2 일 때 셀 수 있는 모든 경우이다. 이제 평균을 취하게 되면

\begin{align} \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{'}_1, x^{'}_2; \beta \right) + \rho_D \left(x_1, x_2;x^{'}_2, x^{'}_1; \beta \right)\right] = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right) \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{'}_1, x^{'}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{'}_2, x^{'}_1\right)\right] \end{align}

이 때 $\psi^{*}$ 가 대칭성을 만족하는 경우는

\begin{align} \frac{1}{2}\left[\psi^{*}\left(x^{'}_1, x^{'}_2\right) + \psi^{*}\left(x^{'}_2, x^{'}_1\right)\right] = \psi^{*}\left(x^{'}_1, x^{'}_2\right) \end{align}

이며 따라서 식은 \begin{align} \frac{1}{2}\left[\rho_D \left(x_1, x_2;x^{'}_1, x^{'}_2; \beta \right) + \rho_D \left(x_1, x_2;x^{'}_2, x^{'}_1; \beta \right)\right] = \sum_{\text{all states}}e^{-\beta E_i}\psi_i\left(x_1, x_2\right) \psi^{*}\left(x^{'}_1, x^{'}_2\right) \end{align}

으로 정리가 된다. 그러므로 이를 순열군에 맞춰서 경우를 나누게 되면

\begin{align} \frac{1}{N!}\sum_P\psi\left(Px_1, \cdots, Px_k, \cdots, Px_N \right) = \begin{cases} \psi(x_1, \cdots, x_k, \cdots, x_N) \qquad &\text{대칭인 경우}\\ 0 \qquad &\text{다른 대칭성을 가지는 경우} \end{cases} \end{align}

이고 이를 $\rho_D$ 에 대응하면 $\rho_S$ 를 얻게된다. 따라서 밀도행렬로 나타낸 보존 입자의 분배함수는

\begin{align} e^{-\beta F_S} = \int \rho_S dx_1 \cdots dx_N = \frac{1}{N!} \sum_P \int \rho_D dx_1 \cdots dx_N \end{align}

참고문헌

  • Richard P. Feynman, Statistical Mechanics: A Set of Lectures, Chapter 2
  • 물리/양자기체의_밀도행렬.1615432202.txt.gz
  • Last modified: 2023/09/05 15:46
  • (external edit)