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--- 물리:양자기체의_밀도행렬 [2021/03/17 18:01] – yong
+++ 물리:양자기체의_밀도행렬 [2023/09/05 15:46] (current) – external edit 127.0.0.1
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-To be added... (~03.21(?))
 ====== 개요 ======
-이상적인 양자 기체들이 다음과 같은 방정식을 만족한다.
+이상적인 양자 기체들은 다음과 같은 방정식을 만족한다.
 \begin{align}
     -\partial\rho / \partial\beta = H\rho
 \end{align}
-이 관계식의 증명은 간단하다. 먼저 밀도행렬을 분배함수의 $\beta$의 함수로 간주하자.
+이 관계식의 증명은 간단하다. 먼저 양자역학에서 밀도행렬을 통계학적 형태로 기술하면
 \begin{align}
-    \rho(\beta) = e^{-\beta H} / \text{Tr}e^{-\beta H}
+    \rho(\beta) = \frac{e^{-\beta H_i}}{\sum_i e^{-\beta H_i}}
+    = \frac{e^{-\beta H}}{\text{Tr}\left[ e^{-\beta H} \right]}
 \end{align}
 이 때 분자는 규격화되지 않은(unnormalized) $\rho$ 이며 다음과 같이 정의한다.
 \begin{align}
@@ Line 224: / Line 225: @@
 \end{align}
-이다. $\alpha = e^{+\mu\beta}$ 으로 두고, 위의 분배함수에 대입하면
+이다. 이 때 큰분배함수의 퓨가시티 (fugacity) $\alpha = e^{+\mu\beta}$ 으로 두고, $e^{-\beta F_s}$ 를 분배함수의 $e^{-\beta F_N}$ 에 대입하면
 \begin{align}
@@ Line 230: / Line 231: @@
 \end{align}
-이며 사이클의 수 $C_q$ 는 0부터 무한대까지 진행할 것이다. (즉, $C_1$ 가 0부터 $\infty$, $C_2$ 가 0부터 $\infty$, ...
+이고, 사이클의 수 $C_q$ 가 0부터 무한대까지 진행할 것이다. (즉, $C_1$ 가 0부터 $\infty$, $C_2$ 가 0부터 $\infty$, ...
-그리고 $C_q$ 가 0부터 $\infty$ 까지 더해진다.) 그러므로 합기호와 곱기호의 계산순서를
+그리고 $C_q$ 가 0부터 $\infty$ 까지 더해진다.) 그러므로 합기호와 곱기호의 계산순서를 바꿀 수 있고 분배함수가
-바꿀 수 있고 분배함수는
 \begin{align}
@@ Line 386: / Line 386: @@
 \end{align}
-따라서 일반적인 경우에는 처음에 나타낸 것과 같이 쓸 수 있게 된다.
+따라서 일반적인 경우에는 처음에 나타낸 것과 같이 쓸 수 있게 된다. 그리고 만약 N 개의 경우 모든 항을 살펴보자 하는 경우,
+[[수학:슬레이터 행렬식]] 으로 일반화해서 나타낼 수 있다.
+===== 이후 계산들 =====
+이후 계산은 보즈 기체에서 보였던 계산과 유사하다. 먼저 적분항에 대한 계산을 해주면
+\begin{align}
+    e^{-\beta F_A} = \frac{1}{N!}\sum_P \left(-1\right)^P \left( \prod_\nu \left(h_\nu\right)^{C_\nu} \right)
+\end{align}
+으로 식을 나타낼 수 있다. 이제 생각해야 할 것은 페르미 기체에서 $\sum_P$ 이다. 여기서는 추가적으로
+$\left(-1\right)^P$ 이라는 항이 들어갔기 때문에, 이것을 어떻게 바꿀 지 생각해보도록 하자. 먼저
+앞의 N=3 예시에서, 6가지의 항을 사이클의 길이에 맞춰서 표를 만들면 다음과 같다.
+| $Px_1, Px_2, Px_3$	| Cycles  	| $\rho_A$와 같은 경우  	| 부호 결정  	|
+|:---:|:---:|:---:|:---:|
+| $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$ | (1)(2)(3) | $-x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$ | + |
+| $x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$ | (1)(32) | $-x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$ | - |
+| $x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3$ | (21)(3) | $-x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1$ | - |
+| $x^{\prime}_2, x^{\prime}_3, x^{\prime}_1$ | (231) | $-x^{\prime}_2, x^{\prime}_1, x^{\prime}_3$ | + |
+| $x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1$ | (13)(2) | $-x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ | - |
+| $x^{\prime}_3, x^{\prime}_1, x^{\prime}_2$ | (312) | $-x^{\prime}_3, x^{\prime}_2, x^{\prime}_1$ | + |
+예를들어 $Px_1, Px_2, Px_3$가 각각 $x^{\prime}_1, x^{\prime}_2, x^{\prime}_3$, $x^{\prime}_1, x^{\prime}_3, x^{\prime}_2$
+와 같은 상황에서, 두 경우는 서로 반대칭 관계를 만족하므로 더하면 0이 되어야 한다. 그리고 사이클의 관점에서 바라볼 때,
+첫 번째 경우,
+\begin{align}
+    \left( \cdots \rightarrow 1 \rightarrow \cdots \right),
+    \left( \cdots \rightarrow 2 \rightarrow \cdots \right),
+    \left( \cdots \rightarrow 3 \rightarrow \cdots \right)
+\end{align}
+의 사이클이고, 두 번째 경우,
+\begin{align}
+    \left( \cdots \rightarrow 1 \rightarrow \cdots \right),
+    \left( \cdots \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow \cdots \right)
+\end{align}
+의 사이클을 형성하고 있다. 정리되는 뒷항과 같이 무한곱 표현으로 나타내고, 반대칭성을 만족하기 위해서는
+다음과 같이 조건을 만족하면 된다. 먼저, 사이클의 길이가 홀수인 경우에는, 양의 부호 $(+)$ 를 가져야 하며,
+짝수인 경우에는, 음의 부호 $(-)$ 를 가지면 된다. 예시로 들었던 경우에 대해서는
+\begin{align}
+    &C_1C_1C_1 \rightarrow (+)(+)(+) \rightarrow (+) \\
+    &C_1C_2 \rightarrow (+)(-) \rightarrow (-)
+\end{align}
+이렇게 부호가 결정이 된다. N=3 에 대해 정리한 표가 위와 같으며, 이를 사이클의 길이가 $C_q$ 까지 나타나는
+N의 경우에 대해
+\begin{align}
+    \prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}
+\end{align}
+을 만족하면 된다. 이 때 대괄호 지수 항으로 $C_\nu$ 가 붙는 것은, 예를 들어 형성되는 사이클의 블럭이
+$C_1C_2C_2$ 이면, 부호가 $(+)$ 를 만족해야 하기 때문이다. 따라서 반대칭성을 만족하는 경우의 분배함수는
+\begin{align}
+    e^{-\beta F_A} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}
+    \frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}}
+\end{align}
+으로 결정이 된다. 보즈 기체와 마찬가지로 직접 계산하는 것은 복잡하기에 이를 큰 바른틀 모둠에서의
+분배함수에 대응하여 나타내면,
+\begin{align}
+    e^{-\beta F} = \sum_{C_1, \cdots, C_q}\prod_\nu \left[ (-1)^{\nu+1} \right]^{C_\nu}\frac{h_\nu^{C_\nu}}{C_\nu! \nu^{C_\nu}} \alpha^{\nu C_\nu}
+\end{align}
+이고 마찬가지로 합기호와 곱기호를 서로 바꾸면
+\begin{align}
+    e^{-\beta F} &= \prod_\nu\sum_{C_\nu}^{\infty} \frac{1}{C_\nu!}
+    \left[ (-1)^{\nu+1} \frac{h_\nu \alpha^{\nu}}{\nu} \right]^{C_\nu}
+\end{align}
+이 때 $C_\nu$ 가 짝수인 경우,
+\begin{align}
+    \prod_\nu \exp \left( (-1)^{\nu+1} h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right)
+\end{align}
+$C_\nu$ 가 홀수인 경우,
+\begin{align}
+    \prod_\nu \exp \left( (-1)^{\nu} h_\nu \frac{\alpha^{\nu}}{\nu} \right)
+\end{align}
+으로 결정된다.
 ====== 참고문헌 ======
   * Richard P. Feynman, //Statistical Mechanics: A set of lectures// (CRC Press, 1998).
   * Wikipedia (en) //Antisymmetrizer// [[https://en.wikipedia.org/wiki/Antisymmetrizer]]
+  * J.J. Sakurai, //Modern Quantum Mechanics//, 3.4 - Quantum Statistical Mechanics (Cambridge University Press)