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 \mu &=& \left( \frac{\partial U}{\partial N} \right)_{S,V} = U \left( \frac{5}{3N} - \frac{2S}{3N^2 k_B} \right) = k_B T \ln \left[ \frac{N}{V} \left( \frac{h^2}{2\pi m k_B T} \right)^{3/2} \right]
 \end{eqnarray*}
-이고, 바로 $U = \frac{3}{2} Nk_B T$와 $pV=Nk_B T$를 확인할 수 있다.
+이고, 바로 $U = \frac{3}{2} Nk_B T$와 $pV=Nk_B T$를 확인할 수 있다. 즉 $U(S,V,N)$은 열평형 상태에서 [[물리:상태 방정식]] 등 계에 대한 완전한 정보를 담고 있으며, 이러한 함수를 [[물리:열역학 퍼텐셜]]이라고 부른다.
+=====엔트로피를 중심으로=====
+[[물리:엔트로피]]를 중심으로 해서 다시 쓰는 것도 일반적인 방법이다. 첫 식을 다시 정리하면
+$$dS = \frac{1}{T} dU + \frac{p}{T} dV - \frac{\mu}{T} dN$$
+이므로 $S = S(U,V,N)$이 존재해서
+\begin{eqnarray*}
+\frac{1}{T} &=& \left( \frac{\partial S}{\partial U} \right)_{V,N}\\
+\frac{p}{T} &=& \left( \frac{\partial S}{\partial V} \right)_{S,N}\\
+-\frac{\mu}{T} &=& \left( \frac{\partial S}{\partial N} \right)_{S,V}
+\end{eqnarray*}
+이 성립한다고 말할 수 있다.
+======헬름홀츠 자유 에너지======
+위에서 [[물리:엔트로피]]를 $U$, $V$, $N$의 함수 $S(U,V,N)$로 적었고, 이것이 [[물리:평형]] 상태의 계를 결정짓는다. 그런데 실험에서 $U$를 조절하기는 어렵기 때문에, $S$의 정보를 그대로 가지고 있으면서도 $U$ 대신 $T$를 변수로 하는 함수를 만들어낼 필요가 있다. 이것이 헬름홀츠 자유 에너지 $F(T,V,N)$이다. $F = U-TS$라고 정의하면
+\begin{eqnarray*}
+dF &=& dU - TdS - SdT\\
+&=& (TdS - pdV + \mu dN) - TdS - SdT\\
+&=& -SdT - pdV + \mu dN
+\end{eqnarray*}
+이 되고 이는 $F$의 변화가 $T$, $V$, 그리고 $N$의 변화로 완전히 기술됨을 보여준다. [[수학:편미분]]의 공식과 비교해보면,
+\begin{eqnarray*}
+-S &=& \left( \frac{\partial F}{\partial T} \right)_{V,N}\\
+-p &=& \left( \frac{\partial F}{\partial V} \right)_{T,N}\\
+\mu &=& \left( \frac{\partial F}{\partial N} \right)_{T,V}
+\end{eqnarray*}
+임을 알게 된다.
+수학적으로는 [[수학:르장드르 변환]]을 통해 $S(U,V,N)$과 $F(T,V,N)$을 오고 가는 것으로 기술한다. 전자는 [[물리:작은 바른틀 모둠]], 후자는 [[물리:바른틀 모둠]]과 직접적으로 연관되어 있다.
+[[물리:분배함수]] $Z(T,V,N)$과는 $Z = e^{-\beta F}$, 혹은 다른 말로 $F = -k_B T \ln Z$의 관계가 있다. 이 때 $\beta \equiv (k_B T)^{-1}$.
+======깁스 자유 에너지======
+======함께 보기======
+[[물리:맥스웰 관계식]]
 ======참고문헌======
-  * Greiner, Neise, and Stöcker, [Thermodynamics and Statistical Mechanics] (Springer, New York, 1995), Exercise 5.3.
+  * Greiner, Neise, and Stöcker, //Thermodynamics and Statistical Mechanics// (Springer, New York, 1995), Exercise 5.3.