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물리:위그너_함수 [2021/02/17 21:41] – created minjae | 물리:위그너_함수 [2021/02/18 12:00] – [밀도 행렬과의 관계] minjae | ||
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\end{equation} | \end{equation} | ||
+ | 따라서 두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$의 바일 변환은 아래와 같다. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \tilde{A}(x, | ||
+ | \tilde{B}(x, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \int\int dxdp\tilde{A}(x, | ||
+ | |||
+ | & | ||
+ | |||
+ | &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x}, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 이 된다. 첫 번쨰 줄에서 두 번째 줄로 넘어가는 과정에서 $\int\text{exp}[-ip(y+y)/ | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \int\int dxdp\tilde{A}(x, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | ======밀도 행렬과의 관계====== | ||
+ | 밀도 행렬 $\hat\rho$와 연산자 $\hat{A}$를 곱하여 대각합을 취하면 $\hat{A}$의 평균을 구할 수 있다. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\ | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | & | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면 | ||
+ | |||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho\tilde{A} | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | 임을 알 수 있다. 따라서 위그너 함수 | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/ | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | 를 정의하면 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도 함수가 $W(x, | ||
+ | |||
+ | 그러므로 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값을 아래와 같이 계산할 수 있다. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x, | ||
+ | \langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | -Jon Brogaard, //Wigner function formalism in Quantum mechanics // (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015). |