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물리:위그너_함수 [2021/02/17 23:37] – minjae | 물리:위그너_함수 [2021/02/18 12:00] – [밀도 행렬과의 관계] minjae | ||
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& | & | ||
- | &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x}, | + | &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x}, |
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | 이 된다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, | + | 이 된다. 첫 번쨰 줄에서 두 번째 줄로 넘어가는 과정에서 $\int\text{exp}[-ip(y+y)/ |
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \int\int dxdp\hat{A}(x,p)\hat{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}]. | + | \int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle |
\end{align*} | \end{align*} | ||
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\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | \langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\hat\rho\hat{A} | + | \langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho\tilde{A} |
\end{align*} | \end{align*} | ||
임을 알 수 있다. 따라서 위그너 함수 | 임을 알 수 있다. 따라서 위그너 함수 | ||
\begin{align*} | \begin{align*} | ||
- | W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/ | + | W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/ |
\end{align*} | \end{align*} | ||
- | 를 정의하면 위그너 함수는 확률 밀도 함수로 볼 수 있다. 주의 할 점의 이것이 | + | 를 정의하면 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도 함수가 $W(x, |
+ | |||
+ | 그러므로 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값을 아래와 같이 계산할 수 있다. | ||
+ | \begin{align*} | ||
+ | \langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x, | ||
+ | \langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x, | ||
+ | \end{align*} | ||
+ | |||
+ | ======참고문헌====== | ||
+ | -Jon Brogaard, //Wigner function formalism in Quantum mechanics // (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015). |