물리:위그너_함수

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물리:위그너_함수 [2021/02/17 23:41] – minjae물리:위그너_함수 [2021/02/18 12:00] – [밀도 행렬과의 관계] minjae
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 &=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\ &=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\
  
-&= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle+&= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle
 \end{align*} \end{align*}
  
-이 된다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다.+이 된다. 첫 번쨰 줄에서 두 번째 줄로 넘어가는 과정에서 $\int\text{exp}[-ip(y+y)/\hbar]=2\pi\hbar\delta(y+y^\prime)$ 계산이 사용되었다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다.
 \begin{align*} \begin{align*}
-\int\int dxdp\hat{A}(x,p)\hat{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}].+\int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle u|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}].
 \end{align*} \end{align*}
  
Line 41: Line 41:
  
 \begin{align*} \begin{align*}
-\langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\hat\rho\hat{A}+\langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\tilde\rho\tilde{A}
 \end{align*} \end{align*}
  
Line 48: Line 48:
 W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right) W(x,p) = \frac{\tilde\rho}{2\pi\hbar}\int dye^{-ipy/\hbar}\psi\left(x+\frac{y}{2}\right)\psi^\ast\left(x-\frac{y}{2}\right)
 \end{align*} \end{align*}
-를 정의하면 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도 함수가 $W(x,p)$임을 알 수 있다. 주의할 점의 이것이 확률 밀도함수에 준하는 것이다(quasi-probability distribution function). 위그너 함수의 값은 음수가 될 수 있다.+를 정의하면 위상 공간에서 위치 $x$, 운동량 $p$를 가지는 확률 밀도 함수가 $W(x,p)$임을 알 수 있다. 주의할 점은 위그너 함수는 확률 밀도함수에 준한다는 것이다(quasi-probability distribution function). 위그너 함수의 값은 음수가 될 수 있다. 
 + 
 +그러므로 위상 공간에서 $x$와 $p$의 평균값을 아래와 같이 계산할 수 있다. 
 +\begin{align*} 
 +\langle x\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)x,\\ 
 +\langle p\rangle &= \int\int dxdpW(x,p)p 
 +\end{align*} 
 + 
 +======참고문헌====== 
 +  -Jon Brogaard, //Wigner function formalism in Quantum mechanics // (Niels Bohr Institute, University of Copenhagen, 2015).
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