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양자적 위상공간에서 확률 분포를 기술하기 위한 함수다.
바일 변환
어떤 연산자의 바일 변환(Weyl transform)은 아래와 같이 정의된다. \begin{equation} \~`{A}(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle \end{equation}
두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$의 바일 변환은 아래와 같다.
\begin{align*} \tildea{A}(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\ \~{B}(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle \end{align*}
변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면 \begin{align*} \int\int dxdp\tildea{A}(x,p)\tildea{B}(x,p) &= \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\tildea{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\tildea{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \\ &\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\tildea{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\tildea{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \end{align*}