어떤 연산자의 바일 변환(Weyl transform)은 아래와 같이 정의된다. \begin{equation} \tilde{A}(x,p) = \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle \end{equation}

따라서 두 연산자 $\hat{A}$, $\hat{B}$의 바일 변환은 아래와 같다.

\begin{align*} \tilde{A}(x,p) &= \int dye^{-ipy/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle, \\ \tilde{B}(x,p) &= \int dy^{\prime}e^{-ipy^\prime/\hbar}\langle x+\frac{y^\prime}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle \end{align*}

변환된 두 연산자를 곱하고 위치 $x$와 운동량 $p$의 모든 공간에 적분을 계산하면 \begin{align*} \int\int dxdp\tilde{A}(x,p)\tilde{B}(x,p) &= \int\int\int\int dxdpdydy^{\prime}e^{-ip(y+y^{\prime})/\hbar}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \\ &=\int\int\int dxdydy^{\prime}\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^\prime}{2}\rangle\langle x+\frac{y^{\prime}}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y^{\prime}}{2}\rangle \times 2\pi\hbar\delta(y+y^{\prime}) \\ &= 2\pi\hbar\int\int dxdy\langle x+\frac{y}{2}|\hat{A}(\hat{x},\hat{p})|x-\frac{y}{2}\rangle\langle-\frac{y}{2}|\hat{B}(\hat{x},\hat{p})|x+\frac{y}{2}\rangle \end{align*}

이 된다. 이제 $u=x-\frac{y}{2}$, $v=x+\frac{y}{2}$으로 치환하여 계산하면 $\hat{A}\hat{B}$의 대각합과 관련됨을 알 수 있다. \begin{align*} \int\int dxdp\hat{A}(x,p)\hat{B}(x,p) = 2\pi\hbar\int\int dudv\langle v|\hat{A}|u\rangle\langle|\hat{B}|v\rangle = h\text{Tr}[\hat{A}\hat{B}]. \end{align*}

밀도 행렬 $\hat\rho$와 연산자 $\hat{A}$를 곱하여 대각합을 취하면 $\hat{A}$의 평균을 구할 수 있다. \begin{align*} \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] &= \text{Tr}[|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}]\\ &=\sum_n\langle n|\psi\rangle\langle\psi|\hat{A}|n\rangle \\ &=\sum_n \langle\psi|\hat{A}|n\rangle\langle n|\psi\rangle \\ &=\langle\psi|\hat{A}|\psi\rangle \\ &=\langle A\rangle \end{align*}

이 관계식을 위에서 보인 두 연산자 곱의 대각합 관계식과 연결지으면

\begin{align*} \langle A\rangle = \text{Tr}[\hat\rho\hat{A}] = \frac{1}{2\pi\hbar}\int\int dxdp\hat\rho\hat{A} \end{align*}

임을 알 수 있다.