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물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/09/18 15:42] – minwoo | 물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/11/15 17:03] (current) – minwoo | ||
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- | ====== Kagome 격자위의 이징 모형 ====== | + | ====== Kagome 격자 위의 이징 모형 ====== |
- | Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다. | + | Kagome 격자는 다음 그림과 같은 구조를 갖는다. |
- | 실선에 해당하는 것이 kagome 격자 구조이며, | + | {{:물리:kagome.png?300|}} |
- | + | ||
- | {{:물리:kagome_lattice.png?300|}} | + | |
이러한 Kagome 격자에서, | 이러한 Kagome 격자에서, | ||
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$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
Kagome 격자에 대해서 정확한 해와 다이어그램을 얻은 논문은 첫 번째 참고문헌에 해당한다. | Kagome 격자에 대해서 정확한 해와 다이어그램을 얻은 논문은 첫 번째 참고문헌에 해당한다. | ||
+ | |||
+ | ====== Husimi 트리 위의 이징 모형 ====== | ||
다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다. | 다만, (일종의 근사법으로서) Husimi 트리(tree) 구조에서의 이징 모형에 대해서 풀이한 뒤, 그 결과를 이용해서 kagome 격자 구조에서의 결과를 이해하는 방법도 있다. | ||
- | Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. (참고문헌 2의 그림 2.(B), | + | Husimi 트리는 다음과 같은 구조이다. ($\gamma-1$개의 삼각형을 각 노드에 붙이는 방식으로 구성되며, |
- | {{:물리:husimi_tree.png?300|}} | + | {{:물리:husimi.png?300|}} |
- | $$ \\ $$ | ||
우선, Husimi tree 구조에서의 ' | 우선, Husimi tree 구조에서의 ' | ||
Line 35: | Line 34: | ||
$$ | $$ | ||
- | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, | + | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, |
$$ | $$ | ||
Line 43: | Line 42: | ||
이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. | 이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. | ||
- | $$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} $$ | + | $$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma} $$ |
따라서, | 따라서, | ||
$$ | $$ | ||
- | \langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} | + | \langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{\gamma} |
$$ | $$ | ||
로 쓸 수 있다. | 로 쓸 수 있다. | ||
Line 64: | Line 63: | ||
$$ | $$ | ||
\begin{align} | \begin{align} | ||
- | \langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}}{Z} \\ | + | \langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma}}{Z} \\ |
- | &= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\ - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\ + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ | + | &= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\ |
- | &= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ -g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ +g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ | + | &= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ -g_n(-)^{\gamma}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ +g_n(-)^{\gamma}} \\ |
- | &= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} | + | &= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} |
\end{align} | \end{align} | ||
$$ | $$ | ||
Line 81: | Line 80: | ||
$$ | $$ | ||
- | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, | + | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, |
$$ | $$ | ||
Line 138: | Line 137: | ||
$$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
- | 따라서 우리는 $x_n$에 대하여 다음의 map을 얻은 것이다. | + | 따라서 우리는 $z_n$에 대하여 다음의 map을 얻은 것이다. |
$$z_n=f(z_{n-1}), | $$z_n=f(z_{n-1}), | ||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 만약 각각의 삼각형에 대한 상호작용(three-spin interaction)만 존재하는 모형이라면, | ||
+ | |||
+ | $$ f(z) = \frac{cz^{2(\gamma-1)}+2z^{\gamma-1}+c}{z^{2(\gamma-1)} + 2cz^{\gamma-1} +1}$$ | ||
+ | |||
+ | ===== Kagome 격자 ($\gamma=2$) ===== | ||
+ | |||
+ | 위에서 얻은 map에서 $\gamma=2$를 대입한 경우는 kagome 격자에서의 이징 모형을 잘 근사하는 경우이다. | ||
+ | |||
+ | 그 경우, map은 아래와 같다. | ||
+ | |||
+ | $$ f(z) = \frac{cz^2 +2z +c}{z^2 + 2cz +1}$$ | ||
+ | |||
+ | 이러한 map에 대해서 $z=f(z)$를 풀면 고정점(fixed point)을 얻을 수 있고, (직접 풀이하거나 Mathematica를 이용하여) 다음과 같이 얻을 수 있다. | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | $c=e^{2\beta J_3} $으로서 $c$는 음수가 아니므로 $-c$는 양수가 아니다. | ||
+ | |||
+ | 이때, $z_n=\frac{g_n(+)}{g_n(-)}$의 $g_n(\sigma)$는 지수함수(exponential)의 합의 형태로 표현된다는 것에 유의하면 | ||
+ | |||
+ | $z=f(z)$의 해는 (음수가 아닌) 양수임을 알 수 있다. | ||
+ | |||
+ | 따라서, 위의 3가지 고정점 중 $z=1$만이 유일하게 가능한 경우이다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 그러한 $z=1$이 안정적인(stable) 고정점인지, | ||
+ | |||
+ | {{: | ||
+ | |||
+ | (초기의 $z$값에 무관하게) map을 수 차례 거친다면 $z=1$의 고정점으로 가게 된다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
+ | 이를 통해, $$ | ||
+ | \begin{align} | ||
+ | \langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} | ||
+ | \end{align} | ||
+ | $$ | ||
+ | |||
+ | 에서 $\gamma=2$와 $a=1$, $z^*=1$ 을 대입하면 $\langle \sigma_0 \rangle =0$인 것을 확인할 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$\\$$ | ||
+ | 따라서, kagome 격자 위의 이징 모형의 해밀토니안이 각각의 삼각형에 대한 상호작용(three-spin interaction)만 포함한다면 | ||
+ | |||
+ | 자화량의 기댓값이 $0$이라는 것을 위와 같은 근사를 통해 알아낼 수 있다. | ||
+ | |||
+ | $$ \\ $$ | ||
====== 참고문헌 ====== | ====== 참고문헌 ====== | ||
- | 1.Exact results for lattice models with pair and triplet interactions, | + | 1. Exact results for lattice models with pair and triplet interactions, |
- | 2. Phase diagrams of Ising models on Husimi trees II. Pair and multisite interaction systems, 1992. | + | 2. Phase diagrams of Ising models on Husimi trees II. Pair and multisite interaction systems, James L. Monroe, 1992. |
3. Thermodynamic approach to three-site antiferromagnetic Ising model in chaotic region, N.S. Ananikian and S.K. Dallakian, 2018. | 3. Thermodynamic approach to three-site antiferromagnetic Ising model in chaotic region, N.S. Ananikian and S.K. Dallakian, 2018. | ||