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| 물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/09/21 15:37] – minwoo | 물리:이징_모형_husimi_트리_kagome_격자 [2023/10/20 23:40] – minwoo | ||
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| Line 37: | Line 37: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, | + | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, |
| $$ | $$ | ||
| Line 45: | Line 45: | ||
| 이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. | 이러한 방식의 정의는 Husimi 트리가 트리 구조를 가지기에 가능한 것이다. 그에 따라, 분배함수 $Z=\sum_\sigma P(\sigma)$를 다음과 같이 적을 수 있다. | ||
| - | $$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} $$ | + | $$ Z = \sum_{\sigma_0} \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma} $$ |
| 따라서, | 따라서, | ||
| $$ | $$ | ||
| - | \langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)} | + | \langle \sigma_0 \rangle = Z^{-1} \sum_{\sigma_0} \sigma_0 \exp (\beta h\sigma_0 )[g_n(\sigma_0)]^{\gamma} |
| $$ | $$ | ||
| 로 쓸 수 있다. | 로 쓸 수 있다. | ||
| Line 66: | Line 66: | ||
| $$ | $$ | ||
| \begin{align} | \begin{align} | ||
| - | \langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{(\gamma-1)}}{Z} \\ | + | \langle \sigma_0 \rangle &= \frac{\sum_{\sigma_0}\sigma_0 \exp(\beta h\sigma_0) [g_n(\sigma_0)]^{\gamma}}{Z} \\ |
| - | &= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\ - \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)}\ + \ e^{-\beta h}g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ | + | &= \frac{e^{\beta h}g_n(+)^{\gamma}\ |
| - | &= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ -g_n(-)^{(\gamma-1)}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{(\gamma-1)} \ +g_n(-)^{(\gamma-1)}} \\ | + | &= \frac{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ -g_n(-)^{\gamma}}{e^{2\beta h}g_n(+)^{\gamma} \ +g_n(-)^{\gamma}} \\ |
| - | &= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} | + | &= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} |
| \end{align} | \end{align} | ||
| $$ | $$ | ||
| Line 83: | Line 83: | ||
| $$ | $$ | ||
| - | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_2^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, | + | g_n(\sigma_0) = \sum_{\{\sigma_1\}} \exp\Bigg[\beta\Bigg(J_3\sum_\Delta \sigma_0\sigma_1^{(1)} \sigma_1^{(2)} + J_2 \sum_{\text{n.n}}\sigma_0 \sigma_1 + h \sum _{j=1, |
| $$ | $$ | ||
| Line 166: | Line 166: | ||
| 이때, $z_n=\frac{g_n(+)}{g_n(-)}$의 $g_n(\sigma)$는 지수함수(exponential)의 합의 형태로 표현된다는 것에 유의하면 | 이때, $z_n=\frac{g_n(+)}{g_n(-)}$의 $g_n(\sigma)$는 지수함수(exponential)의 합의 형태로 표현된다는 것에 유의하면 | ||
| - | $z=f(z)$의 해 역시 | + | $z=f(z)$의 해는 (음수가 아닌) 양수임을 알 수 있다. |
| - | 따라서, 위의 3가지 고정점 중 $z=1$이 유일하게 가능한 경우이다. | + | 따라서, 위의 3가지 고정점 중 $z=1$만이 유일하게 가능한 경우이다. |
| $$ \\ $$ | $$ \\ $$ | ||
| Line 180: | Line 180: | ||
| 이를 통해, $$ | 이를 통해, $$ | ||
| \begin{align} | \begin{align} | ||
| - | \langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{(\gamma-1)} \ -1}{az_n^{(\gamma-1)} \ +1} | + | \langle \sigma_0 \rangle= \frac{az_n^{\gamma} \ -1}{az_n^{\gamma} \ +1} |
| \end{align} | \end{align} | ||
| $$ | $$ | ||